【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=x2x﹣與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,對稱軸與x軸交于點D,點E(4,n)在拋物線上.

(1)求直線AE的解析式;

(2)點P為直線CE下方拋物線上的一點,連接PC,PE.當PCE的面積最大時,連接CD,CB,點K是線段CB的中點,點M是CP上的一點,點N是CD上的一點,求KM+MN+NK的最小值;

(3)點G是線段CE的中點,將拋物線y=x2x﹣沿x軸正方向平移得到新拋物線y′,y′經(jīng)過點D,y′的頂點為點F.在新拋物線y′的對稱軸上,是否存在一點Q,使得FGQ為等腰三角形?若存在,直接寫出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=x+(2)3,(3)點Q的坐標為(3,),Q′(3,)或(3,2)或(3,﹣).

【解析】

試題分析:(1)拋物線的解析式可以變天為y=(x+1)(x-3),從而可得到點A和點B的坐標,然后再求得點E的坐標,設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b,將點A和點E的坐標代入,求得k和b的值,從而得到AE的解析式;

(2)設(shè)直線CE的解析式為y=mx-,將點E的坐標代入求得m的值,從而得到直線CE的解析式,過點P作PFy軸,交CE于點F,設(shè)點P的坐標為(x,x2x﹣),則點F(x,x-),則FP=x.由三角形的面積公式得:ΔEPC的面積=-x2+x,利用二次函數(shù)的媒體人富士康得x的值,從而求得點P的坐標,作點K關(guān)于CD和CP的對稱點G、H,連接G、H交CD和CP于N、M,然后利用軸對稱的性質(zhì)可得到點G和H的坐標,當點O、N、M、H在一條直線上時,KM+MN+NK有最小值,最小值=GH。

(3)由平移后的拋物線經(jīng)過點D,可得到點F的坐標,利用中點坐標公式可求得點G的坐標,然后分為QG=FG、QG=QF、FQ=FQ三種情況求解即可.

試題解析:(1)y=x2x﹣,

y=(x+1)(x﹣3).

A(﹣1,0),B(3,0).

當x=4時,y=

E(4,).

設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b,將點A和點E的坐標代入得:

,

解得:k=,b=

直線AE的解析式為y=x+

(2)設(shè)直線CE的解析式為y=mx﹣,將點E的坐標代入得:4m﹣=,解得:m=

直線CE的解析式為y=x﹣

過點P作PFy軸,交CE與點F.

設(shè)點P的坐標為(x,x2x﹣),則點F(x,x﹣),

則FP=(x﹣)﹣(x2x﹣)=x2+x.

∴△EPC的面積=×(x2+x)×4=﹣x2+x.

當x=2時,EPC的面積最大.

P(2,﹣).

如圖2所示:作點K關(guān)于CD和CP的對稱點G、H,連接G、H交CD和CP與N、M.

K是CB的中點,

k(,﹣).

點H與點K關(guān)于CP對稱,

點H的坐標為(,﹣).

點G與點K關(guān)于CD對稱,

點G(0,0).

KM+MN+NK=MH+MN+GN.

當點O、N、M、H在條直線上時,KM+MN+NK有最小值,最小值=GH.

GH==3.

KM+MN+NK的最小值為3.

(3)如圖3所示:

y′經(jīng)過點D,y′的頂點為點F,

點F(3,﹣).

點G為CE的中點,

G(2,).

FG=

當FG=FQ時,點Q(3,),Q′(3,).

當GF=GQ時,點F與點Q″關(guān)于y=對稱,

點Q″(3,2).

當QG=QF時,設(shè)點Q1的坐標為(3,a).

由兩點間的距離公式可知:a+=,解得:a=﹣

點Q1的坐標為(3,﹣).

綜上所述,點Q的坐標為(3,),Q′(3,或(3,2)或(3,﹣).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在數(shù)軸上,把表示-4的點移動1個單位長度后,所得到的對應(yīng)點表示的數(shù)為(    )

A. -2B. -6C. -3-5D. 無法確定

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】小明在學(xué)習(xí)了一次方程(組)、一元一次不等式和一次函數(shù)后,把相關(guān)知識歸納整理如下:
一次函數(shù)與方程的關(guān)系:
①一次函數(shù)的解析式就是一個二元一次方程;
②點B的橫坐標是方程的解;
③點C的坐標(x,y)中的x,y的值是方程組的解
一次函數(shù)與不等式的關(guān)系:
①函數(shù)y=kx+b的函數(shù)值y小于0時,自變量x的取值范圍就是不等式的解集;
②函數(shù)y=kx+b的函數(shù)值y大于0時,自變量x的取值范圍就是不等式的解集.
(1)請根據(jù)以上方框中的內(nèi)容在下面數(shù)學(xué)序號后寫出相應(yīng)的式子:
;②;③;④;
(2)如果點C的坐標為(2,5),那么不等式kx+b≥k1x+b1的解集是

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,某日的錢塘江觀測信息如下:

按上述信息,小紅將交叉潮形成后潮頭與乙地質(zhì)檢的距離(千米)與時間(分鐘)的函數(shù)關(guān)系用圖3表示.其中:11:40時甲地交叉潮的潮頭離乙地12千米記為點,點坐標為,曲線可用二次函數(shù):s=,是常數(shù))刻畫.

(1)求值,并求出潮頭從甲地到乙地的速度;

(2)11:59時,小紅騎單車從乙地出發(fā),沿江邊公路以千米/分的速度往甲地方向去看潮,問她幾分鐘與潮頭相遇?

(3)相遇后,小紅立即調(diào)轉(zhuǎn)車頭,沿江邊公路按潮頭速度與潮頭并行,但潮頭過乙地后均勻加速,而單車最高速度為千米/分,小紅逐漸落后.問小紅與潮頭相遇到落后潮頭1.8千米共需多長時間?(潮水加速階段速度,是加速前的速度).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在數(shù)學(xué)課上,老師提出如下問題:
已知:如圖, 及AC邊的中點O,
求作:平行四邊形ABCD

小敏的作法如下:
① 連接BO并延長,在延長線上截取OD=BO
② 連接DA、DC,
所以四邊形ABCD就是所求作的平行四邊形。

老師說:”小敏的作法正確.“
請回答:小敏的作法正確的理由是

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】直線y=2x﹣2與x軸交于點A,與y軸交于點B.

(1)求點A、B的坐標;
(2)點C在x軸上,且SABC=3SAOB , 直接寫出點C坐標.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,動點M以每秒1個單位的速度從點A出發(fā)運動到點B,點N以相同的速度從點B出發(fā)運動到點C,兩點同時出發(fā),過點M作MP⊥AB交直線CD于點P,連接NM、NP,設(shè)運動時間為t秒.

(1)當t=2時,∠NMP=度;
(2)求t為何值時,以A、M、C、P為頂點的四邊形是平行四邊形;
(3)當△NPC為直角三角形時,求此時t的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】計算:-24-2×-3+|-2-5|--12019

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了了解某學(xué)校初四年紀學(xué)生每周平均課外閱讀時間的情況,隨機抽查了該學(xué)校初四年級m名同學(xué),對其每周平均課外閱讀時間進行統(tǒng)計,繪制了如下條形統(tǒng)計圖(圖一)和扇形統(tǒng)計圖(圖二):

1)根據(jù)以上信息回答下列問題:

①求m值.

②求扇形統(tǒng)計圖中閱讀時間為5小時的扇形圓心角的度數(shù).

③補全條形統(tǒng)計圖.

2)直接寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù),求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案