Question

【題目】如圖，已知線段， 是上的一動(dòng)點(diǎn)，是的中點(diǎn)，以為邊作正方形，點(diǎn)關(guān)于射線的對(duì)稱點(diǎn)為 ，連接、，直線交于點(diǎn)．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上，且，求的度數(shù)；

（2）小明在解題時(shí)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，線段，，之間滿足，那么你認(rèn)為當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)（如圖2），他的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖3，點(diǎn)在上，且，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）∠AFD=45 ；（2）成立，理由見(jiàn)解析；（3）點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為．

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)關(guān)于射線的對(duì)稱點(diǎn)為，得出AE=AB，∠EAP=∠PAB=25，再根據(jù)正方形和等腰三角形的性質(zhì)得出∠AED，然后根據(jù)三角形的外角即可得出結(jié)論

（2）連接BF、BD，先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得BD=2AD，再根據(jù)三角形的外角和內(nèi)角和定理得出∠AFD=45，從確定BFD 是直角三角形，即可得出結(jié)論

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)Q時(shí)，BP=2，解直角三角形△ABP，得出∠BAP=30，再根據(jù)∠AFD=∠AOD，可得點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為以點(diǎn)O為圓心，以OA長(zhǎng)為半徑，圓心角∠AOF=150的弧長(zhǎng)，即可求出答案

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形

∴AB=AD，∠BAD=90

∵點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于射線AP對(duì)稱

∴AE=AB，∠EAP=∠PAB=25

∴AE=AD，∠EAD=∠EAB+∠BAD=140

∴∠AED=(180-∠EAD)= (180-140)=20

∴∠AFD=∠AED+∠EAP=20+25=45

（2）成立

理由如下：連接BF、BD，

在RtABD中，BD=AB+AD=2AD

∵點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于射線AP對(duì)稱

∴BF=EF ，AB=AE=AD，∠AFB=∠AFD

∴∠BAF=∠EAF，∠ADE=∠AED

∵∠AED是△AEF的外角

∴∠AED=∠EAF+∠AFD

又∵∠DAE=90－2∠EAF

∴在△ADE中，∠DAE+∠ADE+∠AED=180

∴90－2∠EAF+2(∠EAF+∠AFD)=180

∴∠AFD=45

∴∠BFD=2∠AFD=90

∴在RtBFD中，B F+DF=BD

∴EF+DF=2AD

（3）點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為．

設(shè)AC、BD相交于點(diǎn)O，則

OA=AB=

∵在點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠AFD=45

∴∠AFD=∠AOD

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)Q時(shí)，BP=2

在Rt△ABP中，tan∠BAP=

∴∠BAP=30∴∠CAF=15

∴點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為以點(diǎn)O為圓心，以OA長(zhǎng)為半徑，圓心角∠AOF=150的弧長(zhǎng)

∴點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為．