【題目】已知邊長為1的正方形ABCD中,P是對角線AC上的一個動點(與點A. C不重合),過點P作PE⊥PB,PE交射線DC于點E,過點E作EF⊥AC,垂足為點F,當點E落在線段CD上時(如圖),
(1)求證:PB=PE;
(2)在點P的運動過程中,PF的長度是否發(fā)生變化?若不變,試求出這個不變的值,若變化,試說明理由;
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)過點P作PG⊥BC于G,過點P作PH⊥DC于H,如圖1.要證PB=PE,只需證到△PGB≌△PHE即可;(2)連接BD,如圖2.易證△BOP≌△PFE,則有BO=PF,只需求出BO的長即可.
(1)①證明:過點P作PG⊥BC于G,過點P作PH⊥DC于H,如圖1.
∵四邊形ABCD是正方形,PG⊥BC,PH⊥DC,
∴∠GPC=∠ACB=∠ACD=∠HPC=45°.
∴PG=PH,∠GPH=∠PGB=∠PHE=90°.
∵PE⊥PB即∠BPE=90°,
∴∠BPG=90°∠GPE=∠EPH.
在△PGB和△PHE中,
.
∴△PGB≌△PHE(ASA),
∴PB=PE.
②連接BD,如圖2.
∵四邊形ABCD是正方形,∴∠BOP=90°.
∵PE⊥PB即∠BPE=90°,
∴∠PBO=90∠BPO=∠EPF.
∵EF⊥PC即∠PFE=90°,
∴∠BOP=∠PFE.
在△BOP和△PFE中,
,
∴△BOP≌△PFE(AAS),
∴BO=PF.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴OB=OC,∠BOC=90,
∴BC= OB.
∵BC=1,∴OB= ,
∴PF=.
∴點PP在運動過程中,PF的長度不變,值為.
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【題目】直線MN與直線PQ垂直相交于O,點A在直線PQ上運動,點B在直線MN上運動.
(1)如圖1,已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線,點A、B在運動的過程中,∠AEB的大小是否會發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請說明變化的情況;若不發(fā)生變化,試求出∠AEB的大小.
(2)如圖2,已知AB不平行CD,AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線,又DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線,點A、B在運動的過程中,∠CED的大小是否會發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請說明理由;若不發(fā)生變化,試求出其值.
(3)如圖3,延長BA至G,已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及延長線相交于E、F,在△AEF中,如果有一個角是另一個角的3倍,試求∠ABO的度數(shù).
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【題目】去冬今春,我市部分地區(qū)遭受了罕見的旱災,“旱災無情人有情”.某單位給某鄉(xiāng)中小學捐獻一批飲用水和蔬菜共320件,其中飲用水比蔬菜多80件.
(1)求飲用水和蔬菜各有多少件?
(2)現(xiàn)計劃租用甲、乙兩種貨車共8輛,一次性將這批飲用水和蔬菜全部運往該鄉(xiāng)中小學.已知每輛甲種貨車最多可裝飲用水40件和蔬菜10件,每輛乙種貨車最多可裝飲用水和蔬菜各20件.則運輸部門安排甲、乙兩種貨車時有幾種方案?請你幫助設計出來;
(3)在(2)的條件下,如果甲種貨車每輛需付運費400元,乙種貨車每輛需付運費360元.運輸部門應選擇哪種方案可使運費最少?最少運費是多少元?
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【題目】在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,在△ABC外作∠ACM= ∠ABC,點D為直線BC上的動點,過點D作直線CM的垂線,垂足為E,交直線AC于F.
(1)①當點D在線段BC上時,如圖1所示,求∠EDC的度數(shù)
②探究線段DF與EC的數(shù)量關系,并證明;
(2)當點D運動到CB延長線上時,請你畫出圖形,并證明此時DF與EC的數(shù)量關系.
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【題目】如圖1,在中,,,AB=4,點是邊上動點(點不與點、重合),過點作,交邊于點.
(1)求的大;
(2)若把沿著直線翻折得到,設
① 如圖2,當點落在斜邊上時,求的值;
② 如圖3,當點落在外部時,與相交于點,如果,寫出與的函數(shù)關系式以及定義域.
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,點M在CD邊上,點N在正方形ABCD外部,且滿足∠CMN=90°,CM=MN.連接AN,CN,取AN的中點E,連接BE,AC,交于F點.
(1) ①依題意補全圖形;②求證:BE⊥AC.
(2)設AB=1,若點M沿著線段CD從點C運動到點D,則在該運動過程中,線段EN所掃過的面積為 (直接寫出答案).
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【題目】甲、乙兩組同時加工某種零件,乙組工作中有一次停產(chǎn)更換設備,更換設備后,乙組的工作效率是原來的2倍.兩組各自加工零件的數(shù)量y(件)與時間x(時)的函數(shù)圖象如圖所示.
(1)直接寫出甲組加工零件的數(shù)量y與時間x之間的函數(shù)關系式;
(2)求乙組加工零件總量a的值;
(3)甲、乙兩組加工出的零件合在一起裝箱,每滿300件裝一箱,零件裝箱的時間忽略不計,求經(jīng)過多長時間恰好裝滿第1箱?
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【題目】某校開展“我最喜愛的一項體育活動”調查,要求每名學生必選且只能選一項,現(xiàn)隨機抽查了m名學生,并將其結果繪制成如下不完整的條形圖和扇形圖.
請結合以上信息解答下列問題:
(1)m= ;
(2)請補全上面的條形統(tǒng)計圖;
(3)在圖2中,“乒乓球”所對應扇形的圓心角的度數(shù)為 ;
(4)已知該校共有1200名學生,請你估計該校約有 名學生最喜愛足球活動.
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【題目】如圖,四邊形ABCD為平行四邊形紙片.把紙片ABCD折疊,使點B恰好落在CD邊上,折痕為AF.且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm.
(1)求證:平行四邊形ABCD是矩形;
(2)求BF的長;
(3)求折痕AF長.
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