【題目】直線MN與直線PQ垂直相交于O,點A在直線PQ上運(yùn)動,點B在直線MN上運(yùn)動.
(1)如圖1,已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線,點A、B在運(yùn)動的過程中,∠AEB的大小是否會發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請說明變化的情況;若不發(fā)生變化,試求出∠AEB的大。
(2)如圖2,已知AB不平行CD,AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線,又DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線,點A、B在運(yùn)動的過程中,∠CED的大小是否會發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請說明理由;若不發(fā)生變化,試求出其值.
(3)如圖3,延長BA至G,已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及延長線相交于E、F,在△AEF中,如果有一個角是另一個角的3倍,試求∠ABO的度數(shù).
【答案】(1)135°;(2)67.5°;(3)60°, 45°
【解析】
(1)根據(jù)直線MN與直線PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°,再由AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的角平分線得出,,由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論;
(2)延長AD、BC交于點F,根據(jù)直線MN與直線PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°,進(jìn)而得出 ,故,再由AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線,可知,,由三角形內(nèi)角和定理可知∠F=45°,再根據(jù)DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線可知,進(jìn)而得出結(jié)論;
(3))由∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E可知, ,進(jìn)而得出∠E的度數(shù),由AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線可知∠EAF=90°,在△AEF中,由一個角是另一個角的3倍分四種情況進(jìn)行分類討論.
(1)∠AEB的大小不變,
∵直線MN與直線PQ垂直相交于O,
∴∠AOB=90°,
∴,
∵AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線,
∴,,
∴°,
∴∠AEB=135°;
(2)∠CED的大小不變.
如圖2,延長AD、BC交于點F.
∵直線MN與直線PQ垂直相交于O,
∴°,
∴°,
∴°,
∵AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線,
∴,,
∴°,°,
∴°,
∴°,
∵DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線,
∴°,
∴°;
(3)∵∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E,
∴, ,
∴,
∵AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線,
∴°.
在△AEF中,
∵有一個角是另一個角的3倍,故有:
①,°,°;
②,°,°;
③,°,°;
④,°,°.
∴∠ABO為60°或45°.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,點A,B的坐標(biāo)分別為(-2,0),(1,0).同時將點A ,B先向左平移1個單位長度,再向上平移2個單位長度,得到點A,B的對應(yīng)點依次為C,D,連接CD,AC, BD .
(1)寫出點C , D 的坐標(biāo);
(2)在 y 軸上是否存在點E,連接EA ,EB,使S△EAB=S四邊形ABDC?若存在,求出點E的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
(3)點 P 是線段 AC 上的一個動點,連接 BP , DP ,當(dāng)點 P 在線段 AC 上移動時(不與 A , C 重合),直接寫出CDP 、ABP 與BPD 之間的等量關(guān)系.
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【題目】如圖,已知數(shù)軸上依次有三點 A、B、C,點 B 對應(yīng)的數(shù)是,且點 B 到點A、C的距離均為600.
(1)寫出點A所對應(yīng)的數(shù);
(2)若動點P、Q分別從B、C兩點同時向右運(yùn)動,點 P、Q 的速度分別為 10 單位長度每秒、5單位長度每秒,問多少秒時點P與點Q重合;
(3)若動點P、Q分別從A、C兩點相向而行,點P運(yùn)動20秒后,點Q開始運(yùn)動,點P、Q的速度分別為10單位長度每秒、5單位長度每秒,問點 P 運(yùn)動多少秒時P,Q兩點的距離為200.
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【題目】李明準(zhǔn)備進(jìn)行如下操作實驗,把一根長40 cm的鐵絲剪成兩段,并把每段首尾相連各圍成一個正方形.
(1)要使這兩個正方形的面積之和等于58 cm2,李明應(yīng)該怎么剪這根鐵絲?
(2)李明認(rèn)為這兩個正方形的面積之和不可能等于48 cm2,你認(rèn)為他的說法正確嗎?請說明理由.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,且經(jīng)過弦CD的中點H,已知sin∠CDB=,BD=5,則AH的長為( )
A. B. C. D.
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【題目】已知是上的一個動點,
(1)問題發(fā)現(xiàn)
如圖1,當(dāng)點在線段上運(yùn)動時,過點作,垂足為點,過點作,垂足為點,且.
①與是全等三角形嗎?請說明理由
②連接,試猜想的形狀,并說明理由;
(2)類比探究
如圖2,當(dāng)在線段的延長線上時,過點作,垂足為點,過點作,垂足為點,且,試直接寫出的形狀.
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【題目】如圖所示,BD=DC,DE⊥BC,交∠BAC的平分線于E,EM⊥AB,EN⊥AC,
(1)求證:BM=CN
(2)若AB=9,AC=5.求AM長.
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【題目】下列說法正確的是( )
A. 擲一枚均勻的骰子,骰子停止轉(zhuǎn)動后,6點朝上是必然事件
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C. “明天降雨的概率為”,表示明天有半天都在降雨
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