Question

【題目】閱讀材料：

在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等， ，利用上述結(jié)論可以求解如下題目：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a，b，c．若∠A=45°，∠B=30°，a=6，求b．

解：在△ABC中，∵

∴b=.

理解應(yīng)用：

如圖，甲船以每小時30海里的速度向正北方向航行，當(dāng)甲船位于A1處時，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，且乙船從B1處按北偏東15°方向勻速直線航行，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2時，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時兩船相距10海里．

（1）判斷△A1A2B2的形狀，并給出證明；

（2）求乙船每小時航行多少海里？

Answer 1

【答案】（1）△A1A2B2是等邊三角形，理由見解析；（2）海里．

【解析】試題分析：（1）△A1A2B2是等邊三角形，先計算出A1A2的長度，再結(jié)合A2B2的長度和∠A1A2B2的度數(shù)不難證明△A1A2B2是等邊三角形；（2）過點(diǎn)B作B1N∥A1A2，可求出∠A1B1N=75°，進(jìn)而求出∠A1B1B2=60°，接下去求出∠B1A1B2=45°，由閱讀材料可知=,可求出B1B2的長度，不難求出乙的速度.

試題解析：

解：（1）△A1A2B2是等邊三角形，理由如下：

連結(jié)A1B2．

∵甲船以每小時30海里的速度向正北方向航行，航行20分鐘到達(dá)A2，

∴A1A2=30×=10，

又∵A2B2=10，∠A1A2B2=60°，

∴△A1A2B2是等邊三角形；

（2）過點(diǎn)B作B1N∥A1A2，如圖，

∵B1N∥A1A2，

∴∠A1B1N=180°﹣∠B1A1A2=180°﹣105°=75°，

∴∠A1B1B2=75°﹣15°=60°．

∵△A1A2B2是等邊三角形，

∴∠A2A1B2=60°，A1B2=A1A2=10，

∴∠B1A1B2=105°﹣60°=45°．

在△B1A1B2中，

∵A1B2=10，∠B1A1B2=45°，∠A1B1B2=60°，

由閱讀材料可知， =，

解得B1B2==，

所以乙船每小時航行： ÷=20海里．