【題目】綜合與實踐﹣四邊形旋轉(zhuǎn)中的數(shù)學(xué)
“智慧”數(shù)學(xué)小組在課外數(shù)學(xué)活動中研究了一個問題,請幫他們解答.
任務(wù)一:如圖1,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,E,F(xiàn)分別為AB,AD邊的中點(diǎn),四邊形AEGF為矩形,連接CG.
(1)請直接寫出CG的長是______.
(2)如圖2,當(dāng)矩形AEGF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)(比如順時針旋轉(zhuǎn))至點(diǎn)G落在邊AB上時,請計算DF與CG的長,通過計算,試猜想DF與CG之間的數(shù)量關(guān)系.
(3)當(dāng)矩形AEGF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至如圖3的位置時,(2)中DF與CG之間的數(shù)量關(guān)系是否還成立?請說明理由.
任務(wù)二:“智慧”數(shù)學(xué)小組對圖形的旋轉(zhuǎn)進(jìn)行了拓展研究,如圖4,在ABCD中,∠B=60°,AB=6,AD=8,E,F(xiàn)分別為AB,AD邊的中點(diǎn),四邊形AEGF為平行四邊形,連接CG.“智慧”數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)DF與CG仍然存在著特定的數(shù)量關(guān)系.
(4)如圖5,當(dāng)AEGF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)(比如順時針旋轉(zhuǎn)),其他條件不變時,“智慧”數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)DF與CG仍然存在著這一特定的數(shù)量關(guān)系.請你直接寫出這個特定的數(shù)量關(guān)系.
【答案】5
【解析】
(1)如圖1中,由此EG交CD于H,則四邊形FGHD是矩形.在Rt△CGH中,利用勾股定理即可解決問題;
(2)如圖2中,作FP⊥AD于P.利用勾股定理相似三角形的性質(zhì),分別求出CG、DF即可解決問題;
(3)成立.連接AG、AC.只要證明△ADF∽△ACG,可得 即可解決問題;
(4)在圖4中,通過計算即可解決問題;
(1)如圖1中,由此EG交CD于H,則四邊形FGHD是矩形.
在Rt△CGH中,GH=DF=4,CH=DH=AE=3,
∴CG= =5.
故答案為:5.
(2)如圖2中,作FP⊥AD于P.
在矩形AEGF中,∵AE=3,EG=4,
∴AG=5,BG=AB-AG=1,
在Rt△CBG中,CG= ,
由△APF∽△AEG,可得 ,
∴ ,
∴AP= ,PF= ,DP=AD﹣AP=8﹣,
在Rt△PDF中,DF= ,
∴DF=CG.
(3)成立.理由如下:連接AG、AC.
由旋轉(zhuǎn)可知:∠DAF=∠CAG,
由勾股定理可知:AC=,AG=5,
∵ ,,
∴,
∴△ADF∽△ACG,
∴,
∴DF=CG.
(4)如圖4中,延長EG交CD于H,作CK⊥GH于K.
由題意可知四邊形FGHD是平行四邊形,四邊形AEGF是平行四邊形,
∴DF=GH=4,DH=FG=AE=3,CH=3,∠CHG=∠D=60°,
在Rt△CHK中,HK=,CK=,GK=GH﹣KH=,
在Rt△CGK中,CG= ,
∴CG=DF.
在圖5中,連接AG、AC.
同法可證:△ACG∽△ADF,可得:=,可得CG=DF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,點(diǎn)F為AB延長線上一點(diǎn),點(diǎn)E在BC上,BE=BF,連接AE,EF和CF.
(1)求證:△ABE≌△CBF;
(2)若∠CAE=30°,求∠EFC的度數(shù).
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【題目】被譽(yù)為“中原第一高樓”的鄭州會展賓館(俗稱“玉米樓”)坐落在風(fēng)景如畫的如意湖畔,是來鄭州觀光的游客留影的最佳景點(diǎn).學(xué)完了三角函數(shù)知識后,劉明和王華決定用自己學(xué)到的知識測量“玉米樓”的高度.如圖,劉明在點(diǎn)C處測得樓頂B的仰角為45°,王華在高臺上的D處測得樓頂?shù)难鼋菫?/span>40°.若高臺DE的高為5米,點(diǎn)D到點(diǎn)C的水平距離EC為47.4米,A,C,E三點(diǎn)共線,求“玉米樓”AB的高度.(參考數(shù)據(jù):sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84,結(jié)果保留整數(shù))
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【題目】一位運(yùn)動員在距籃下4m處跳起投籃,球運(yùn)行的路線是拋物線,當(dāng)球運(yùn)行的水平距離是2.5m時,達(dá)到最大高度3.5m,然后準(zhǔn)確落入籃圈.已知籃圈中心到地面的距離為3.05m.
(1)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,求拋物線的解析式.
(2)該運(yùn)動員身高1.8m,在這次跳投中,球在頭頂上0.25m處出手,
問:球出手時,他距離地面的高度是多少?
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【題目】如圖所示,半圓O的直徑AB=10cm,弦AC=6cm,將半圓沿著過點(diǎn)A的直線折疊,折疊后使得弦AC恰好落在直徑AB上,則折痕AD的長為_______cm.
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【題目】如圖,AC是ABCD的對角線,點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn),連接BE交AC于點(diǎn)F,連接CE,DF,若∠BEC=∠BAC=90°,則sin∠DFE的值為_____.
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【題目】如圖,點(diǎn)P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),且PA=3,PB=4, PC=5,若將△APB繞著點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)后得到△CQB,則∠APB的度數(shù)______.
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【題目】2013年某企業(yè)按餐廚垃圾處理費(fèi)25元/噸,建筑垃圾處理費(fèi)16元/噸標(biāo)準(zhǔn),共支付餐廚和建筑垃圾處理費(fèi)5200元,從2014年元月起,收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)上調(diào)為:餐廚垃圾處理費(fèi)100元/噸,建筑垃圾處理費(fèi)30元/噸,若該企業(yè)2014年處理的這兩種垃圾數(shù)量與2013年相比沒有變化,就要多支付垃圾處理費(fèi)8800元,
(1)該企業(yè)2013年處理的餐廚垃圾和建筑垃圾各多少噸?
(2)該企業(yè)計劃2014年將上述兩種垃圾處理量減少到240噸,且建筑垃圾處理費(fèi)不超過餐廚垃圾處理量的3倍,則2014年該企業(yè)最少需要支付這兩種垃圾處理費(fèi)共多少元?
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【題目】如圖,射線AD,BE,CF構(gòu)成∠1,∠2,∠3,則∠1+∠2+∠3=( )
A. 180° B. 360° C. 540° D. 無法確定
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