3.在經(jīng)濟學中,函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生產(chǎn)100臺報警系統(tǒng)裝置,生產(chǎn)x(x>0)臺的收入函數(shù)為R(x)=3 000x-20x2 (單位:元),其成本函數(shù)為C(x)=500x+4 000(單位:元),利潤是收入與成本之差.
(1)求利潤函數(shù)P(x)及邊際利潤函數(shù)MP(x);
(2)利潤函數(shù)P(x)與邊際利潤函數(shù)MP(x)是否具有相同的最大值?
解 (1)P(x)=R(x)-C(x)=(3 000x-20x2)-(500x+4 000)=-20x2+2 500x-4 000(x∈[1,100]且x∈N)
MP(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)2+2 500(x+1)-4 000-(-20x2+2 500x-4 000)
=2 480-40x (x∈[1,100]且x∈N).
(2)P(x)=-20(x-2+74 125,當x=62或63時,P(x)max=74 120(元).
因為MP(x)=2 480-40x是減函數(shù),所以當x=1時,MP(x)max=2 440(元).
因此,利潤函數(shù)P(x)與邊際利潤函數(shù)MP(x)不具有相同的最大值.
2.求函數(shù)y=(4x-x2)的單調(diào)區(qū)間.
解 由4x-x2>0,得函數(shù)的定義域是(0,4).令t=4x-x2,則y=t.
∵t=4x-x2=-(x-2)2+4,∴t=4x-x2的單調(diào)減區(qū)間是[2,4),增區(qū)間是(0,2].
又y=t在(0,+∞)上是減函數(shù),∴函數(shù)y=(4x-x2)的單調(diào)減區(qū)間是(0,2],單調(diào)增區(qū)間是[2,4).
1.討論函數(shù)f(x)=x+(a>0)的單調(diào)性.
解 方法一 顯然f(x)為奇函數(shù),所以先討論函數(shù)f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性,設x1>x2>0,則
f(x1)-f(x2) =(x1+)-(x2+)=(x1-x2)·(1-).
∴當0<x2<x1≤時,>1,
則f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故f(x)在(0,]上是減函數(shù).
當x1>x2≥時,0<<1,則f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
故f(x)在[,+∞)上是增函數(shù).∵f(x)是奇函數(shù),
∴f(x)分別在(-∞,-]、[,+∞)上為增函數(shù);
f(x)分別在[-,0)、(0,]上為減函數(shù).
方法二 由=1-=0可得x=±
當x>時或x<-時,>0,∴f(x)分別在(,+∞)、(-∞,-]上是增函數(shù).
同理0<x<或-<x<0時,<0
即f(x)分別在(0,]、[-,0)上是減函數(shù).
5.(2009·文登月考)若函數(shù)f(x) =的值域為,則實數(shù)a的取值范圍是 .
答案?
例1已知函數(shù)f(x)=ax+ (a>1).
證明:函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù).
證明 方法一 任取x1,x2∈(-1,+∞),
不妨設x1<x2,則x2-x1>0,>1且>0,
∴a,又∵x1+1>0,x2+1>0,
∴>0,
于是f(x2)-f(x1)=a+>0,
故函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù).
方法二 f(x)=ax+1-(a>1),
求導數(shù)得=axlna+,
∵a>1,∴當x>-1時,axlna>0,>0,
>0在(-1,+∞)上恒成立,則f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù).
方法三 ∵a>1,∴y=ax為增函數(shù),
又y=,在(-1,+∞)上也是增函數(shù).
∴y=ax+在(-1,+∞)上為增函數(shù).
例2判斷函數(shù)f(x)=在定義域上的單調(diào)性.
解 函數(shù)的定義域為{x|x≤-1或x≥1},
則f(x)= ,
可分解成兩個簡單函數(shù).
f(x)= =x2-1的形式.當x≥1時,u(x)為增函數(shù),為增函數(shù).
∴f(x)=在[1,+∞)上為增函數(shù).當x≤-1時,u(x)為減函數(shù),為減函數(shù),
∴f(x)=在(-∞,-1]上為減函數(shù).
例3 求下列函數(shù)的最值與值域:
(1)y=4-;(2)y=2x-;
(3)y=x+;(4)y=.
解 (1)由3+2x-x2≥0得函數(shù)定義域為[-1,3],又t=3+2x-x2=4-(x-1)2.
∴t∈[0,4],∈[0,2],從而,當x=1時,ymin=2.當x=-1或x=3時,ymax=4.故值域為[2,4].
(2) 方法一 令=t(t≥0),則x=.∴y=1-t2-t=-(t+2+.
∵二次函數(shù)對稱軸為t=-,∴在[0,+∞)上y=-(t+2+是減函數(shù),
故ymax=-(0+2+=1.故函數(shù)有最大值1,無最小值,其值域為(-∞,1].
方法二 ∵y=2x與y=-均為定義域上的增函數(shù),∴y=2x-是定義域為{x|x≤}上的增函數(shù),
故ymax=2×=1,無最小值.故函數(shù)的值域為(-∞,1].
(3)方法一 函數(shù)y=x+是定義域為{x|x≠0}上的奇函數(shù),故其圖象關于原點對稱,故只討論x>0時,即可知x<0時的最值.
∴當x>0時,y=x+≥2=4,等號當且僅當x=2時取得.當x<0時,y≤-4,等號當且僅當x=-2時取得.
綜上函數(shù)的值域為(-∞,-4]∪[4,+∞),無最值.
方法二 任取x1,x2,且x1<x2,
因為f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)=
所以當x≤-2或x≥2時,f(x)遞增,當-2<x<0或0<x<2時,f(x)遞減.
故x=-2時,f(x)最大值=f(-2)=-4,x=2時,f(x)最小值=f(2)=4,
所以所求函數(shù)的值域為(-∞,-4]∪[4,+∞),無最大(小)值.
(4)將函數(shù)式變形為
y=,
可視為動點M(x,0)與定點A(0,1)、B(2,-2)距離之和,連結AB,則直線AB與x軸的交點(橫坐標)即為所求的最小值點.
ymin=|AB|=,可求得x=時,ymin=.
顯然無最大值.故值域為[,+∞).
例4 (12分)函數(shù)f(x)對任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且當x>0時,f(x)>1.
(1)求證:f(x)是R上的增函數(shù);
(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
解 (1)設x1,x2∈R,且x1<x2,
則x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1. 2分
f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)
=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0. 5分
∴f(x2)>f(x1).
即f(x)是R上的增函數(shù). 6分
(2)∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,
∴f(2)=3, 8分
∴原不等式可化為f(3m2-m-2)<f(2),
∵f(x)是R上的增函數(shù),∴3m2-m-2<2, 10分
解得-1<m<,故解集為(-1,). 12分
4.函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,其中a、b、c∈R,則a2-3b<0時,f(x)是 ( ) A.增函數(shù) B.減函數(shù)
?C.常數(shù)函數(shù)? D.單調(diào)性不確定的函數(shù)
答案?A?
3.若函數(shù)f(x)=x2+(a2-4a+1)x+2在區(qū)間(-∞,1]上是減函數(shù),則a的取值范圍是 ( )
?A.[-3,-1] ?B.(-∞,-3]∪[-1,+∞)
?C.[1,3] ?D.(-∞,1]∪[3,+∞)
答案 ?C?
2.(2008·保定聯(lián)考)已知f(x)是R上的增函數(shù),若令F(x)=f(1-x)-f(1+x),則F(x)是R上的 ( )
? A.增函數(shù) ?B.減函數(shù)
? C.先減后增的函數(shù) ?D.先增后減的函數(shù)
答案?B
1.已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的增函數(shù),則f(x)=0的根 ( )
?A.有且只有一個 B.有2個
?C.至多有一個 D.以上均不對
答案?C?
12.某租賃公司擁有汽車100輛.當每輛車的月租金為3 000元時,可全部租出.當每輛車的月租金每增加50元時,未租出的車將會增加一輛.租出的車每月需要維護費150元,未租出的車每輛每月需要維護費50元.
(1)當每輛車的月租金定為3 600元時,能租出多少輛車?
(2)當每輛車的月租金定為多少元時,租賃公司的月收益最大?最大月收益是多少?
解 (1)當每輛車的月租金定為3 600元時,未租出的車輛數(shù)為=12,所以這時租出了88輛車.
(2)設每輛車的月租金定為x元,則租賃公司的月收益為f(x)=(100-×50.
整理得f(x)=- +162x-21 000=-(x-4 050)2+307 050.
所以,當x=4 050時,f(x)最大,最大值為f(4 050)=307 050.
即當每輛車的月租金定為4 050元時,租賃公司的月收益最大,最大月收益為307 050元.
§2.2 函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值
基礎自測
11.如圖所示,有一塊半徑為R的半圓形鋼板,計劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀,它的下底AB是⊙O的直徑,且上底CD的端點在圓周上,寫出梯形周長y關于腰長x的函數(shù)關系式,并求出它的定義域.
解 AB=2R,C、D在⊙O的半圓周上,
設腰長AD=BC=x,作DE⊥AB,
垂足為E,連接BD,
那么∠ADB是直角,
由此Rt△ADE∽Rt△ABD.
∴AD2=AE×AB,即AE=,∴CD=AB-2AE=2R-,
所以y=2R+2x+(2R-), 即y=-+2x+4R.
再由,解得0<x<R. 所以y=-+2x+4R,定義域為(0,R).
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