（2012•增城市模擬）已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，且當(dāng)n＞1時(shí)，2a_n=a_n-1+a_n+1恒成立．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)S_n=a₁+a₂+…+a_n，求和

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

．

（2012•鹽城一模）對(duì)于函數(shù)f（x），若存在實(shí)數(shù)對(duì)（a，b），使得等式f（a+x）•f（a-x）=b對(duì)定義域中的每一個(gè)x都成立，則稱函數(shù)f（x）是“（a，b）型函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)f（x）=4^x是否為“（a，b）型函數(shù)”，并說(shuō)明理由；
（2）已知函數(shù)g（x）是“（1，4）型函數(shù)”，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，都有1≤g（x）≤3成立，且當(dāng)x∈[0，1]，g（x）=x²+m（1-x）+1（m＞0）．試求m的取值范圍．

（2011•東城區(qū)二模）已知a，b為兩個(gè)正數(shù)，且a＞b，設(shè)a₁=

a+b

2

，b₁=

ab

，當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，a_n=

an-1+bn-1

2

，b_n=

an-1bn-1

．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，數(shù)列{b_n}是遞增數(shù)列；
（Ⅱ）求證：a_n+1-b_n+1＜

1

2

（a_n-b_n）；
（Ⅲ）是否存在常數(shù)C＞0使得對(duì)任意n∈N^*，有|a_n-b_n|＞C，若存在，求出C的取值范圍；若不存在，試說(shuō)明理由．

已知函數(shù)f（x）=x²+2aln（1-x）（a∈R），g（x）=f（x）-x²+x．
（1）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若f（x）在[-1，1）上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且（n+1）a_n+1=na_n，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，求證：當(dāng)n≥2時(shí)，S_n＜1+lnn．