Question

（1）已知：f(x)=

4x2-12x-3

2x+1

，x∈[0，1]，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和值域；
（2）a≥1，函數(shù)g（x）=x³-3a²x-2a，x∈[0，1]，判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性并予以證明；
（3）當a≥1時，上述（1）、（2）小題中的函數(shù)f（x）、g（x），若對任意x₁∈[0，1]，總存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將f（x）進行化簡成對勾函數(shù)的形式y=f(x)=2x+1+

4

2x+1

-8，換元令t=2x+1，1≤t≤3然后利用定義進行判斷函數(shù)的單調(diào)性，
（2）直接利用單調(diào)函數(shù)的定義進行判定
（3）存在性問題，轉(zhuǎn)化成f（x）的值域⊆g（x）的值域求解即可

解答：解：（1）y=f(x)=2x+1+

4

2x+1

-8，設(shè)t=2x+1，1≤t≤3
則y=t+

4

t

-8，t∈[1，3].
任取t₁、t₂∈[1，3]，且t₁＜t₂，f(t1)-f(t2)=

(t1-t2)(t1t2-4)

t1t2

，
當1≤t≤2，即0≤x≤

1

2

時，f（x）單調(diào)遞減；
當2＜t≤3，即

1

2

＜x≤1時，f（x）單調(diào)遞增．
由f(0)=-3，f(

1

2

)=-4，f(1)=-

11

3

，得f（x）的值域為[-4，-3]．
（2）設(shè)x₁、x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，
則g（x₁）-g（x₂）=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²-3a²）＞0，
所以g（x）單調(diào)遞減．
（3）由g（x）的值域為：1-3a²-2a=g（1）≤g（x）≤g（0）=-2a，
所以滿足題設(shè)僅需：1-3a²-2a≤-4≤-3≤-2a，
解得，1≤a≤

3

2

．

點評：本題主要考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)值域，以及存在性問題的求解，是一個函數(shù)綜合題．