Question

（2011•東城區(qū)二模）已知a，b為兩個(gè)正數(shù)，且a＞b，設(shè)a₁=

a+b

2

，b₁=

ab

，當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，a_n=

an-1+bn-1

2

，b_n=

an-1bn-1

．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，數(shù)列{b_n}是遞增數(shù)列；
（Ⅱ）求證：a_n+1-b_n+1＜

1

2

（a_n-b_n）；
（Ⅲ）是否存在常數(shù)C＞0使得對(duì)任意n∈N^*，有|a_n-b_n|＞C，若存在，求出C的取值范圍；若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）易知對(duì)任意n∈N^*，a_n＞0，b_n＞0．根據(jù)基本不等式可知對(duì)任意n∈N^*，a_n＞b_n，an+1-an=

an+bn

2

-an判定符號(hào)可得數(shù)列{a_n}的單調(diào)性，bn+1-bn=

anbn

-bn=

bn

(

an

-

bn

)＞0，從而得到數(shù)列{b_n}的單調(diào)性； 
（II）根據(jù)題意可知an+1-bn+1=

an+bn

2

-

anbn

，然后利用放縮法即可證得結(jié)論；
（III）若存在常數(shù)C＞0使得對(duì)任意n∈N^*，有|a_n-b_n|＞C，則對(duì)任意n∈N^*，(a-b)(

1

2

)n-1＞C，即n＜

log

2

2a-2b

C

對(duì)任意n∈N^*成立，設(shè)[x]表示不超過(guò)x最大整數(shù)，則有[log2

2a-2b

C

] +1＞log2 

2a-2b

C

，即當(dāng)n=[log2

2a-2b

C

]+1時(shí)，n＞log2

2a-2b

C

與n＜log2

2a-2b

C

對(duì)任意n∈N^*成立矛盾．從而所以，不存在常數(shù)C＞0使得對(duì)任意n∈N^*，有|a_n-b_n|＞C．

解答：（共13分）
（Ⅰ）證明：易知對(duì)任意n∈N^*，a_n＞0，b_n＞0．
由a≠b，可知

a+b

2

＞

ab

，即a₁＞b₁．
同理，

a1+b1

2

＞

a1b1

，即a₂＞b₂．
可知對(duì)任意n∈N^*，a_n＞b_n．an+1-an=

an+bn

2

-an=

bn-an

2

＜0，
所以數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列．bn+1-bn=

anbn

-bn=

bn

(

an

-

bn

)＞0，
所以數(shù)列{b_n}是遞增數(shù)列．              …（5分）
（Ⅱ）證明：an+1-bn+1=

an+bn

2

-

anbn

＜

an+bn

2

-

bnbn

＜

1

2

(an-bn)．…（10分）
（Ⅲ）解：由an+1-bn+1＜

1

2

(an-bn)，可得an-bn＜(a-b)•(

1

2

)n-1．
若存在常數(shù)C＞0使得對(duì)任意n∈N^*，有|a_n-b_n|＞C，
則對(duì)任意n∈N^*，(a-b)(

1

2

)n-1＞C．
即2n＜

2a-2b

C

對(duì)任意n∈N^*成立．
即n＜

log

2

2a-2b

C

對(duì)任意n∈N^*成立．
設(shè)[x]表示不超過(guò)x最大整數(shù)，則有[log2

2a-2b

C

] +1＞log2 

2a-2b

C

．
即當(dāng)n=[log2

2a-2b

C

]+1時(shí)，n＞log2

2a-2b

C

．
與n＜log2

2a-2b

C

對(duì)任意n∈N^*成立矛盾．
所以，不存在常數(shù)C＞0使得對(duì)任意n∈N^*，有|a_n-b_n|＞C． …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的單調(diào)性的判定，以及利用放縮法證明不等式，同時(shí)考查了橫成立問(wèn)題，屬于難題．