Question

（2012•增城市模擬）已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，且當n＞1時，2a_n=a_n-1+a_n+1恒成立．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設S_n=a₁+a₂+…+a_n，求和

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

．

Answer 1

分析：（1）將已知的等式左邊寫為兩項之和a_n+a_n，移項后，利用此遞推式列出等式，將已知的a₁=1，a₂=2代入，可得出相鄰兩項之差為定值，進而確定出數(shù)列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，由首項和公差即可寫出等差數(shù)列的通項公式；
（2）由（1）得出的等差數(shù)列的通項公式列舉出數(shù)列的各項之和，并利用等差數(shù)列的前n項和公式化簡，得出S_n的通項，代入

1

Sn

中，利用拆項法變形，列舉出所求式子的各項，抵消合并后即可得到所求式子的結(jié)果．

解答：解：（1）∵當n＞1時，2a_n=a_n-1+a_n+1，且a₁=1，a₂=2，
∴a_n+1-a_n=a_n-a_n-1=a_n-1-a_n-2=…=a₂-a₁=2-1=1，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=n；
（2）∵S_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
∴

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

2

1×2

+

2

2×3

+…+

2

n(n+1)

=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=2（1-

1

n+1

）．

點評：此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的求和公式，等差數(shù)列的確定，以及等差數(shù)列的通項公式，熟練掌握性質(zhì)及公式是解本題的關(guān)鍵．