Question

（2012•鹽城一模）對(duì)于函數(shù)f（x），若存在實(shí)數(shù)對(duì)（a，b），使得等式f（a+x）•f（a-x）=b對(duì)定義域中的每一個(gè)x都成立，則稱函數(shù)f（x）是“（a，b）型函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)f（x）=4^x是否為“（a，b）型函數(shù)”，并說(shuō)明理由；
（2）已知函數(shù)g（x）是“（1，4）型函數(shù)”，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，都有1≤g（x）≤3成立，且當(dāng)x∈[0，1]，g（x）=x²+m（1-x）+1（m＞0）．試求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)給出的新定義，當(dāng)f（x）=4^x時(shí)，定義中的等式化為16^a=b，顯然使該式成立的數(shù)對(duì)存在，從而說(shuō)明函數(shù)f（x）=4^x是“（a，b）型函數(shù)”；
（2）由函數(shù)g（x）是“（1，4）型函數(shù)”，得到g（1+x）g（1-x）=4，變形后得到g(x)=

4

g(2-x)

，若x∈[1，2]，則2-x∈[0，1]，由函數(shù)g（x）在[0，1]上的值域即可得到函數(shù)在[1，2]上的值域，而函數(shù)g（x）在[0，1]上的解析式已給出，利用分類討論求出g（x）在[0，1]上的值域，取并集后結(jié)合1≤g（x）≤3求解m的取值范圍．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=4^x是“（a，b）型函數(shù)”．
因?yàn)橛蒮（a+x）•f（a-x）=b，得4^a+x•4^a-x=16^a=b，所以存在這樣的實(shí)數(shù)對(duì)，如a=1，b=16．
（2）由題意得，g（1+x）g（1-x）=4，所以當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，g(x)=

4

g(2-x)

，其中2-x∈[0，1]，
而x∈[0，1]時(shí)，g（x）=x²+m（1-x）+1=x²-mx+m+1＞0，且其對(duì)稱軸方程為x=

m

2

，
①當(dāng)

m

2

＞1，即m＞2時(shí)，g（x）在[0，1]上的值域?yàn)閇g（1），g（0）]，即[2，m+1]，
則g（x）在[0，2]上的值域?yàn)?span id="68cavps" class="MathJye">[2，m+1]∪[

4

m+1

，2]=[

4

m+1

，m+1]，
由題意得

m+1≤3 4 m+1 ≥1

，此時(shí)無(wú)解．
②當(dāng)

1

2

≤

m

2

≤1，即1≤m≤2時(shí)，g（x）的值域?yàn)?span id="jfiptyt" class="MathJye">[g(

m

2

)，g(0)]，即[m+1-

m2

4

，m+1]，
所以則g（x）在[0，2]上的值域?yàn)?span id="gly9ko6" class="MathJye">[m+1-

m2

4

，m+1]∪[

4

m+1

，

4

m+1- m2 4

]，
則由題意得

4 m+1- m2 4 ≤3 m+1≤3

且

m+1- m2 4 ≥1 4 m+1 ≥1

，解得1≤m≤2．
③當(dāng)0＜

m

2

≤

1

2

，即0＜m≤1時(shí)，g（x）的值域?yàn)?span id="ax6zmxy" class="MathJye">[g(

m

2

)，g(1)]，即[m+1-

m2

4

，2]，
則g（x）在[0，2]上的值域?yàn)?span id="bxrb8r4" class="MathJye">[m+1-

m2

4

，2]∪[2，

4

m+1- m2 4

]，
=[m+1-

m2

4

，

4

m+1- m2 4

]，
則

m+1- m2 4 ≥1 4 m+1- m2 4 ≤3

，解得：2-

2 6

3

≤m≤1．
綜上所述，所求m的取值范圍是2-

2 6

3

≤m≤2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，考查了函數(shù)的值域，考查了分類討論得數(shù)學(xué)思想，解答此題的關(guān)鍵是對(duì)（2）中函數(shù)g（x）的值域的求法，屬中檔題．