Question

（2012•鹽城一模）已知x、y、z均為正數(shù)，求證：

3

3

(

1

x

+

1

y

+

1

z

)≤

1 x2 + 1 y2 + 1 z2

．

Answer 1

分析：已知x、y、z均為正數(shù)，根據(jù)柯西不等式（a₁²+a₂²+a₃²）（b₁²+b₂²+b₃²）≥（a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃）²，可得(12+12+12)(

1

x2

+

1

y2

+

1

z2

)≥(

1

x

+

1

y

+

1

z

)2然后進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而進(jìn)行證明．

解答：證明：由柯西不等式得(12+12+12)(

1

x2

+

1

y2

+

1

z2

)≥(

1

x

+

1

y

+

1

z

)2…（5分）
則

3

×

1 x2 + 1 y2 + 1 z2

≥

1

x

+

1

y

+

1

z

，
即

3

3

(

1

x

+

1

y

+

1

z

)≤

1 x2 + 1 y2 + 1 z2

…（10分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要是柯西不等式的應(yīng)用，只是進(jìn)行簡(jiǎn)單的變形而已，此題比較簡(jiǎn)單．