1．小孩子數數：小孩子識數，先學會1個、2個、3個，過些時候可以數到10了，又過些時候，會數到20、30、……、100了。但后來不是一段一段的增長，而是飛躍前進，直到有一天，他會說：“我什么數也會數了”，這一飛躍竟然從有限過渡到了無限！為什么呢？首先，他知道從頭數；其次，他知道一個個按次序數，而且不愁數了一個數后，下一個數不會數，也就是領悟了用上一個數表示下一個數的方法。從而什么數也會數了。

  2．“多米諾骨牌實驗”：第一個推倒，而且第一個倒后，能保證擊倒下一個，就能保證所有的都倒了。

將以上思路的核心是兩點：一是初始情況成立，二是能保證前一個成立能倒出后一個也成立，將這一思路加以抽象，就是數學歸納法。標題：數學歸納法

【探索研究】

（1）（遞推奠基）：當n取第一個值n₀結論正確；

（2）（遞推歸納）：假設當n=k(k∈N^*，且k≥n₀)時結論正確；（歸納假設）

證明當n=k+1時結論也正確。（歸納證明）

由(1)，(2)可知，命題對于從n₀開始的所有正整數n都正確。

【例題評析】

例1：求證：1²+2²+3²+……+n²=n(n+1)(2n+1)

說明：①數學歸納法的第一部到假設，用的是不完全歸納法，所以驗證幾個值與一個值是等效的（具體根據情況來確定驗證的個數）

 ②第二步由假設P(k)真導P(k+1)真，進而驗證所有的整數真，是演繹推理過程。因而，數學歸納法是合歸納與演繹為一體的推理。

練習1：求證=

練習2：設f(n)=1+,求證n+f(1)+f(2)+…f(n-1)=nf(n)  (n∈N,n≥2)

例2、教材P88---2

說明1、數學歸納法證明問題時，必須驗證第一步初始情況

說明2：第二步必須用假設，不用假設不能保證前一個成立能導出后一個成立

練習：用數學歸納法證明

[課堂小結]1、 數學歸納法原理：

（1）（遞推奠基）：當n取第一個值n₀結論正確；

（2）（遞推歸納）：假設當n=k(k∈N^*，且k≥n₀)時結論正確；（歸納假設）

證明當n=k+1時結論也正確。（歸納證明）

由(1)，(2)可知，命題對于從n₀開始的所有正整數n都正確。

2、用數學歸納法可以證明與自然數有關的一些數學問題，注意驗證第一步，第二步要用假設

　　　[作業(yè)]教材P91----1,2,7,8

     [補充習題]

   1、f(n)= ,則f(n+1)-f(n)=_____________

2、P(n)是關于自然數的命題，且P(n)真P(n+1)真，若P(4)假，則一定假的有_________

3、已知數列{a_n}滿足a₁=1,a_n=3^n-1+a_n-1(n≥2)，通過計算a₂,a₃,猜想a_n通項公式，并證明

[補充題答案]

1、；   2、P(0)、P(1)、P(2)、P(3)、P(4)；  3、a_n=

              第二課時  數學歸納法證明問題的題型

[教學目標]

[教學難點、重點]題型

[教學過程]

例1、設n為正整數，f(n)=5ⁿ+2×3ⁿ+1   (1)計算f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的值，并求其最大公約數；(2)猜想f(n)的最大公約數，并證明

通過此例主要說明在“計算――猜想――證明”這一完整的思路中，證明最常用的方法是數學歸納法。

練習1：求數列{n³+5n}的最大公約數，并證明

練習2：求證: 能被整除（n∈N⁺）

例2、平面上有n條線段，任何兩條直線都相交，任何三條不過同一點，問：這n條直線將平面分成多少個部分？

說明：注意分析f(k)和f(k+1)的關系。

練習：教材P90---練習3

例3、f(k)表示關于x的不等式log₂x+log₂(3×2^k-1-x)≥2k-1(k∈N^*)的解集中整數解的個數

(1)  求f(k)的解析式

(2)  求S_n=f(1)+f(2)+……+f(n)

(3)  令P_n=n²+n-1,比較S_n與P_n的大小

解：(1)原不等式表示為log₂[x(3×2^k-1-x)]≥2k-1,x²-3×2^k-1x+2^2k-1≤0，2^k-1≤x≤2^k,f(2)=2^k-2^k-1+1

=2^k-1+1

(2)S_n=2ⁿ-1+n

(3)S₁=2,P₁=1,S₁>P₁;  S₂=5,P₂=5,S₂=P₂;   S₃=10,P₃=11,S₃<P₃;S₄=19,P₄=19,S₄=P₄; S₅=36,P₅=29,S₅>P₅

猜想，n≥4時，S_n≥P_n

證明：①由上驗證，n=4時，命題成立

②假設n=k(k≥4)時，命題成立，即S_k≥P_k2^k-1+k≥k²+k-12^k≥k²,

則S_k+1=2^k+1-1+k+1≥2k²-1+k+1=2k²+k≥(k+1)²+(k+1)-1=P_k+1(事實上，要證2k²+k≥(k+1)²+(k+1)-1k²-2k-1≥0k≥1+，∵k≥4∴k≥1+成立 ∴S_k+1≥P_k+1)

由①、②知，n≥4時，S_n≥P_n

總之，當n=1及n≥5時，S_n>P_n；當n=2,4時，S_n=P_n；當n=3時，S_n<P_n

說明：用假設后，分析P(k+1)真時k滿足的條件集合A，如果A={k|k≥t,t>n₀},需將假設修正為k≥t，從而第一步需多驗證幾個值，一直到t；如果A={k|k≤t}與k≥n₀總有相悖的值存在，此時，該題不能用數學歸納法證明。所以，數學歸納法是用來證明一些與自然數有關的命題的一種方法。

[補充習題]

1、  證明(x+1)ⁿ⁺¹+(x+2)^2n-1(n為正整數)能被x²+3x+3整除

2、  求證：平面上n邊形內角和為(n-1)180⁰  (n≥3)

3、  設數列{a_n}滿足(1)求證a_n>對一切正整數n成立   (2)令b_n=,判斷b_n與b_n+1的大小關系，并證明

[補充習題答案]

3(2)b_n+1<b_n