平面向量解讀

⑴理解向量的概念、掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念.

⑵掌握向量的加法和減法w.w.w.k.s.5.u.c.o.m      

⑶掌握實數(shù)與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件.

⑷了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運算.

（5）掌握平面向量數(shù)理積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件.

（6）掌握平面兩點間的距離公式以及線段的定比分點和中點坐標(biāo)公式，并且能熟練運用.掌握平移公式.

平面向量作為高考新增知識點，在近幾年高考試題中的分值正逐年增加，約占9.8%左右.對本章內(nèi)容的考查主要分為以下兩類：

（1）以選擇、填空題型考查本章的基本概念和性質(zhì)，重點考查向量的概念，幾何表示、向量的加減法、實數(shù)與向量的積、兩個向量共線的充要條件、向量的坐標(biāo)運算以及平面向量的數(shù)量積及其幾何意義等.此類題一般難度不大，用以解決有關(guān)長度、夾角、垂直、判斷多邊形形狀等問題.

（2）平面向量綜合問題是“新熱點”題型，其形式為與直線、圓錐曲線、三角函數(shù)、解析幾何等知識綜合，解決角度、垂直、平行以及圖象的平移等問題.

重點1.

例2：(數(shù)量積運算求夾角)已知| a |=1,| b |=1，a與b的夾角為60°, x =2a－b，y=3b－a,則x與y的夾角是多少？

分析：要計算x與y的夾角θ，需求出|x|,|y|,x?y的值.計算時要注意計算的準(zhǔn)確性.

解：由已知|a|=|b|=1，a與b的夾角α為60°,得a?b=|a||b|cosα=.

要計算x與y的夾角θ，需求出|x|，|y|，x?y的值.

∵|x|²=x²=(2a－b)²=4a²－4a?b+b²=4－4×+1=3，

|y|²=y²=(3b－a)²=9b²－6b?a+a²=9－6×+1=7.

x?y=(2a－b)?(3b－a)=6a?b－2a²－3b²+a?b

    =7a?b－2a²－3b² =7×－2－3=－，

又∵x?y=|x||y|cosθ，即－=×cosθ，

∴cosθ=－，θ=π－arccos.即x與y的夾角是π－arccos

點評：①本題利用模的性質(zhì)|a|²=a²，②在計算x,y的模時，還可以借助向量加法、減法的幾何意義獲得：如圖所示，設(shè)=b, =a, =2a,∠BAC=60°.由向量減法的幾何意義，得=－=2a－b.由余弦定理易得||=，即|x|=，同理可得|y|=.

重點2.平面向量的數(shù)量積及運算律

例5、設(shè)a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共線,則①（a?b）c－（c?a）b=0  ②|a|－|b|<|a－b|  ③（b?c）a－（c?a）b不與c垂直④（3a+2b）（3a－2b）=9|a|²－4|b|²中，是真命題的有（    ）

A.①②              B.②③              C.③④              D.②④

答案：D

解析：①平面向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律.故①假；

②由向量的減法運算可知|a|、|b|、|a－b|恰為一個三角形的三條邊長，由“兩邊之差小于第三邊”，故②真；

③因為［（b?c）a－（c?a）b］?c=（b?c）a?c－（c?a）b?c=0，所以垂直.故③假；

④（3a+2b）（3a－2b）=9?a?a－4b?b=9|a|²－4|b|²成立.故④真.

點撥：作為選擇題要注意解題方法的選擇，先分析對錯最為明顯的論斷以排除選項.注意區(qū)分向量運算與數(shù)量運算.

重點3. 利用向量推導(dǎo)出了正弦定理、余弦定理，其實用向量推導(dǎo)其它三角公式也很方便，同時說明向量與三角是有密切聯(lián)系的。

]例2 設(shè)函數(shù)，其中向量

   .

  （1）求函數(shù)的最大值和最小正周期；

  （2）將函數(shù)的圖像按向量平移，使平移后得到的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱，求長度最小的.

   解：(1)由題意得，f(x)＝=(sinx,－cosx)?(sinx－cosx,sinx－3cosx)               ＝sin²x－2sinxcosx+3cos²x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin(2x+).所以，f(x)的最大值為2+，最小正周期是＝.

（2）由sin(2x+)＝0得2x+＝k.，即x＝,k∈Z，于是d＝（，－2），k∈Z.,因為k為整數(shù)，要使最小，則只有k＝1，此時d＝（?，?2）即為所求.

點評：本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計算方法、三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)及圖像的基本知識，考查推理和運算能力。

重點4.平面向量綜合問題

例6、例、若直線按向量平移后與圓相切，則c的值為      

A．8或－2   B．6或－4   C．4或－6            D．2或－8

解析：按向量平移后得，此直線與圓相切      

點撥：本題考查向量的平移公式和直線與圓的位置關(guān)系，是向量和直線與圓的小綜合，求解時關(guān)鍵在于運用點與函數(shù)圖象按向量平移的公式.

例4、已知x²+y²+z²=6，a²+b²+c²=4   (x,y,z,a,b,c∈R)，求ax+by+cz的最值。

解：構(gòu)造向量，，則∴ax+by+cz的最大值為，最小值為.+

點評: 巧妙構(gòu)造向量，利用向量的數(shù)量積性質(zhì):是求解本題的關(guān)鍵.特別是對于某些含有乘方之和或乘積之和式子的條件最值問題，向量的數(shù)量積性質(zhì)求解顯得更加獨特巧妙。

雷區(qū)1.概念理解模糊

例1 在中，若，則是（   ）

A.銳角三角形      B.直角三角形      C.鈍角三角形        D.不確定

錯解1：因為，所以，所以，因此角為銳角。故選。

錯解2：因為，所以，所以，因此角為銳角，但其他兩個角并不能確定，故選。

錯因分析：產(chǎn)生上述錯誤的主要原因是對向量的夾角的概念理解模糊，向量與的夾角不是角，而是角的外角。

正確解法：由，可得，所以，即為銳角，所以為鈍角。故選。

雷區(qū)2.生搬硬套公式致錯

例2 已知，，將向量按向量平移后所得的向量的坐標(biāo)為          （   ）

A.        B.         C.         D.

錯解：,由平移公式得，∴向量按向量平移后所得的向量的坐標(biāo)為，故選。

錯因分析：平移公式揭示的是點沿著向量平移后前后坐標(biāo)間的變化關(guān)系，而向量可以自由平行移動，即向量平移時向量的坐標(biāo)不變。上述錯誤是將平移公式生搬硬套。

正解1：因向量平移后仍與原來的向量相等，則，故選。

正解2：，按向量平移后所得，，所以，故選。

雷區(qū)3.忽視向量的特性錯誤

例3、已知向量、都是非零向量，且向量與向量垂直，向量與向量垂直，求向量與的夾角。

錯解：由題意得，即，兩式相減得，即，所以（不合題意舍去）或。由知、方向相同。故向量與的夾角為。

錯因分析：本解法誤用了實數(shù)的性質(zhì)：對于實數(shù)、，若滿足，則必有或。但對于向量與，若滿足時，與不一定為零向量，這是因為任意與垂直的非零向量都有。

正解：由題意可知向量與不共線，所以，即，兩式相減得，即，代入得，所以，設(shè)向量與的夾角為，所以。

雷區(qū)4.運算律掌握不牢固致錯

例4 若向量與不共線，，且，則向量與的夾角（）   （）  （）    （）

錯解：由可得，，所以向量與的夾角為。選（）。

錯因分析：此解法出錯的原因是對進(jìn)行了約分處理。

正解：由題意得，所以向量與的夾角為。故選（）。

雷區(qū)5.思想應(yīng)用錯誤

例5 已知向量，，對任意恒有，則   （    ） 

（）   （）   （）   （）

錯解：由已知條件兩邊平方得：  

，即恒成立故需

得：，而答案中無此項。

錯因分析：錯誤的主要原因是整理成關(guān)于的二次不等式后，不能把看成一個整體，一個參數(shù)，或不會把“1”看成，而總以為自己因做錯得不到答案。

正解：接上，，又因為，所以。

雷區(qū)6.考慮不周錯誤

例6 已知點，，，，，，若，，試求為何值時，點在第三象限。

錯解：因為，，，，，，，，，，所以，，于是，解得。

錯因分析：本題誤把向量的坐標(biāo)當(dāng)做了點的坐標(biāo)。利用向量的坐標(biāo)判斷點在那個象限時，應(yīng)把向量的起點移動到坐標(biāo)原點。

正解：設(shè)點，，由題意得，，，。所以，解得，于是。

五、沙場練兵

1.若三點P（1，1），A（2，-4），B（x,-9）共線，則（    ）

A.x=-1                         B.x=3                          C.x=                        D.x=51

2.與向量a=(-5,4)平行的向量是（    ）

A.（-5k,4k）               B.(-,-)                  C.(-10,2)                      D.(5k,4k)

3.若點P分所成的比為，則A分所成的比是（    ）

A.                            B.                           C.-                          D.-

4.已知向量a、b，a?a=-40，|a|=10,|b|=8，則向量a與b的夾角為（    ）

A.60°                         B.-60°                        C.120°                       D.-120°

5.若|a-b|=,|a|=4,|b|=5，則向量a?b=（    ）

A.10                      B.-10                            C.10                      D.10

6.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量a+x?b與b垂直，則x的值為（    ）

A.                          B.                          C.2                              D.-

7.設(shè)四邊形ABCD中，有=，且||=||，則這個四邊形是（    ）

A.平行四邊形                     B.矩形                         C.等腰梯形                  D.菱形

10.將y=x+2的圖像C按a=(6,-2)平移后得C′的解析式為（    ）

A.y=x+10                     B.y=x-6                       C.y=x+6                       D.y=x-10

11.已知平行四邊形的3個頂點為A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，則它的第4個頂點D的坐標(biāo)是（    ）

A.(2a,b)                       B.(a-b,a+b)                   C.(a+b,b-a)                   D.(a-b,b-a)

2．已知向量，．若向量，則實數(shù)的值是 　-3     ．

5．已知向量a = (),　b = (,-1)，則的最大值是 4   ．

7．已知△ABC內(nèi)一點P滿足，則P為△ABC的  重  心．