【題目】如圖,四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形,為的中點(diǎn),以為折痕把折起,使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置,且.
(1)求證:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)
【解析】
(1)先由線面垂直的判定定理得到平面,進(jìn)而可得平面平面;
(2)先取中點(diǎn),連結(jié),,證明平面平面,在平面內(nèi)作于點(diǎn),則平面. 以點(diǎn)為原點(diǎn),為軸,為軸,如圖建立空間直角坐標(biāo)系.分別求出兩平面的法向量,求向量夾角余弦值,即可求出結(jié)果.
(1)因?yàn)樗倪呅?/span>是正方形,所以折起后,且,
因?yàn)?/span>,所以是正三角形,所以.
又因?yàn)檎叫?/span>中,為的中點(diǎn),所以,所以,
所以,所以,又因?yàn)?/span>,所以平面.
又平面,所以平面平面.
(2)取中點(diǎn),連結(jié),,則,,
又,則平面.又平面,所以平面平面.
在平面內(nèi)作于點(diǎn),則平面.
以點(diǎn)為原點(diǎn),為軸,為軸,如圖建立空間直角坐標(biāo)系.
在中,,,.
∴,,故,,,
∴,.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則由,得
,令,得,,
∴.
因?yàn)槠矫?/span>的法向量為,
則,
又二面角為銳二面角,∴二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx+x2+bx(a為實(shí)常數(shù)).
(1)若a=﹣2,b=﹣3,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若b=0,且a>﹣2e2 , 求函數(shù)f(x)在[1,e]上的最小值及相應(yīng)的x值;
(3)設(shè)b=0,若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓 + =1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,離心率為 .已知A是拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線l的距離為 .
(Ⅰ)求橢圓的方程和拋物線的方程;
(Ⅱ)設(shè)l上兩點(diǎn)P,Q關(guān)于x軸對(duì)稱,直線AP與橢圓相交于點(diǎn)B(B異于A),直線BQ與x軸相交于點(diǎn)D.若△APD的面積為 ,求直線AP的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),且圓心在直線:上.
(1)求圓的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn),問(wèn)在直線上是否存在定點(diǎn),使得恒成立?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,是半圓的直徑,垂直于半圓所在的平面,點(diǎn)是圓周上不同于的任意一點(diǎn),分別為的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是( )
A.B.平面平面
C.與所成的角為45°D.平面
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若對(duì)于,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若對(duì)于,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若△ABC為銳角三角形,且滿足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,則下列等式成立的是( 。
A.a=2b
B.b=2a
C.A=2B
D.B=2A
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx﹣ )+sin(ωx﹣ ),其中0<ω<3,已知f( )=0.(12分)
(Ⅰ)求ω;
(Ⅱ)將函數(shù)y=f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖象向左平移 個(gè)單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求g(x)在[﹣ , ]上的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),曲線通過(guò)點(diǎn),且在點(diǎn)處的切線垂直于軸.
(1)用分別表示和;
(2)當(dāng)取得最小值時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
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