【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx+x2+bx(a為實常數(shù)).
(1)若a=﹣2,b=﹣3,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若b=0,且a>﹣2e2 , 求函數(shù)f(x)在[1,e]上的最小值及相應(yīng)的x值;
(3)設(shè)b=0,若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】
(1)解:a=﹣2,b=﹣3時,f(x)=﹣2lnx+x2﹣3x,定義域為(0,+∞),
,
在(0,+∞)上,f′(2)=0,當(dāng)x∈(0,2)時,f′(x)<0,當(dāng)x∈(2,+∞)時,f′(x)>0,
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(2,+∞);單調(diào)減區(qū)間為(0,2);
(2)解:因為b=0,所以f(x)=alnx+x2 ,
x∈[1,e],2x2+a∈[a+2,a+2e2],
(i) 若a≥﹣2,f'(x)在[1,e]上非負(fù)(僅當(dāng)a=﹣2,x=1時,f'(x)=0),
故函數(shù)f(x)在[1,e]上是增函數(shù),
此時[f(x)]min=f(1)=1;
(ii)若﹣2e2<a<﹣2,a+2<0,a+2e2>0,
,x∈[1,e],
當(dāng) 時,f'(x)=0, ,
當(dāng) 時,f'(x)<0,此時f(x)是減函數(shù);
當(dāng) 時,f'(x)>0,此時f(x)是增函數(shù).
故 ;
(3)解:b=0,f(x)=alnx+x2不等式f(x)≤(a+2)x,
即alnx+x2≤(a+2)x可化為a(x﹣lnx)≥x2﹣2x.
因為x∈[1,e],所以lnx≤1≤x且等號不能同時取,
所以lnx<x,即x﹣lnx>0,因而 (x∈[1,e]),
令 (x∈[1,e]),又 ,
當(dāng)x∈[1,e]時,x﹣1≥0,lnx≤1,x+2﹣2lnx>0,
從而g'(x)≥0(僅當(dāng)x=1時取等號),所以g(x)在[1,e]上為增函數(shù),
故g(x)的最小值為g(1)=﹣1,所以實數(shù)a的取值范圍是[﹣1,+∞)
【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的最小值即可;(3)問題轉(zhuǎn)化為 (x∈[1,e]),令 (x∈[1,e]),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可.
【考點精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本,需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在(0,+∞)上的連續(xù)函數(shù)y=f(x)滿足:xf′(x)﹣f(x)=xex且f(1)=﹣3,f(2)=0.則函數(shù)y=f(x)( )
A.有極小值,無極大值
B.有極大值,無極小值
C.既有極小值又有極大值
D.既無極小值又無極大值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
(1)寫出函數(shù)的解析式;
(2)若直線與曲線有三個不同的交點,求的取值范圍;
(3)若直線 與曲線在內(nèi)有交點,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從高三抽出名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽,由成績得到如下的頻率分布直方圖.試?yán)妙l率分布直方圖求:
(1)這名學(xué)生成績的眾數(shù)與中位數(shù);
(2)這名學(xué)生的平均成績.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在以原點為極點, 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的普通方程和直線的傾斜角;
(2)設(shè)點,直線和曲線交于兩點,求的值.
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【題目】設(shè)甲、乙、丙三個乒乓球協(xié)會分別選派3,1,2名運動員參加某次比賽,甲協(xié)會運動員編號分別為,,,乙協(xié)會編號為,丙協(xié)會編號分別為,,若從這6名運動員中隨機抽取2名參加雙打比賽.
(1)用所給編號列出所有可能抽取的結(jié)果;
(2)求丙協(xié)會至少有一名運動員參加雙打比賽的概率;
(3)求參加雙打比賽的兩名運動員來自同一協(xié)會的概率.
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【題目】設(shè)是兩條不同的直線,是三個不同的平面,給出下列四個命題:①若,則 ; ②若則;③若,則; ④若,則,其中正確命題的序號是( )
A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④
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【題目】為了實現(xiàn)綠色發(fā)展,避免浪費能源,某市政府計劃對居民用電采用階梯收費的方法.為此,相關(guān)部分在該市隨機調(diào)查了戶居民六月份的用電量(單位:)和家庭收入(單位:萬元),以了解這個城市家庭用電量的情況.
用電量數(shù)據(jù)如下:
.
對應(yīng)的家庭收入數(shù)據(jù)如下:
.
(Ⅰ)根據(jù)國家發(fā)改委的指示精神,該市計劃實施階階梯電價,使的用戶在第一檔,電價為元/;的用戶在第二檔,電價為元/;的用戶在第三檔,電價為元/,試求出居民用電費用與用電量間的函數(shù)關(guān)系;
(Ⅱ)以家庭收入為橫坐標(biāo),電量為縱坐標(biāo)作出散點圖(如圖),求關(guān)于的回歸直線方程(回歸直線方程的系數(shù)四舍五入保留整數(shù)).
(Ⅲ)小明家的月收入元,按上述關(guān)系,估計小明家月支出電費多少元?
參考數(shù)據(jù):,,,,.
參考公式:一組相關(guān)數(shù)據(jù),,…,的回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘法估計分別為,,其中,為樣本均值.
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【題目】如圖,四邊形是邊長為2的正方形,為的中點,以為折痕把折起,使點到達點的位置,且.
(1)求證:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
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