Question

【題目】已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)為原點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線（不與軸垂直）與橢圓交于、兩點(diǎn)，直線、與軸分別交于點(diǎn)、.問：軸上是否存在定點(diǎn)，使得？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【解析】

（Ⅰ）利用橢圓的離心率結(jié)合，求出，得到橢圓方程；

（Ⅱ）設(shè)，由題意及橢圓的對(duì)稱性可知，求出、的方程，求出、的坐標(biāo)，假設(shè)存在定點(diǎn)使得，得到，求出，即可說(shuō)明存在點(diǎn)坐標(biāo)為滿足條件.

（Ⅰ）由題意得，解得，所以，橢圓的方程為；

（Ⅱ）設(shè)，由題意及橢圓的對(duì)稱性可知，

則直線的方程為，直線的方程為，

則點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為.

假設(shè)存在定點(diǎn)使得，

即（也可以轉(zhuǎn)化為斜率來(lái)求），

即，即，即，所以，

所以存在點(diǎn)坐標(biāo)為滿足條件.