【題目】已知函數(shù).
(1)若,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)若函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,設(shè)函數(shù),若在上至少存在一點(diǎn),使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)y=x-1(2)(3)
【解析】
試題(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求出切點(diǎn)坐標(biāo),然后求出,從而求出的值即為切線的斜率,利用點(diǎn)斜式可求出切線方程;
(Ⅱ)先求導(dǎo)函數(shù),要使在定義域(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù),只需在(0,+∞)內(nèi)恒成立,然后將分離,利用基本不等式可求出的取值范圍;
(III)根據(jù)g(x)在[1,e]上的單調(diào)性求出其值域,然后根據(jù)(II)可求出的最大值,要使在[1,e]上至少存在一點(diǎn)x0,使得成立,只需,x∈[1,e],然后建立不等式,解之即可求出的取值范圍.
試題解析:
(1)當(dāng)a=1時(shí),函數(shù), ∴f(1)=1-1-ln1=0.,
曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率為f'(1)=1+1-1=1.
從而曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y-0=x-1, 即y=x-1.
(2).
要使f(x)在定義域(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù),只需f′(x)≥0在(0,+∞)內(nèi)恒成立.
即:ax2-x+a≥0得:恒成立.
由于, ∴, ∴
∴f(x)在(0,+∞)內(nèi)為增函數(shù),實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
(3)∵在[1,e]上是減函數(shù)
∴x=e時(shí),g(x)min=1,x=1時(shí),g(x)max=e,即g(x)∈[1,e]
f'(x)=令h(x)=ax-x+a
當(dāng)時(shí),由(II)知f(x)在[1,e]上是增函數(shù),f(1)=0<1
又在[1,e]上是減函數(shù),故只需f(x)max≥g(x)min,x∈[1,e]
而f(x)max=f(e)=,g(x)min=1,即≥1
解得a≥ ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,且函數(shù)是偶函數(shù).
(1)求的解析式;.
(2)若不等式在上恒成立,求n的取值范圍;
(3)若函數(shù)恰好有三個(gè)零點(diǎn),求k的值及該函數(shù)的零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】由國家公安部提出,國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫總局發(fā)布的《車輛駕駛?cè)藛T血液、呼氣酒精含量閥值與檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)(GB/T19522-2010)》于2011年7月1日正式實(shí)施.車輛駕駛?cè)藛T酒飲后或者醉酒后駕車血液中的酒精含量閥值見表.經(jīng)過反復(fù)試驗(yàn),一般情況下,某人喝一瓶啤酒后酒精在人體血液中的變化規(guī)律的“散點(diǎn)圖”見圖,且圖表示的函數(shù)模型,則該人喝一瓶啤酒后至少經(jīng)過多長時(shí)間才可以駕車(時(shí)間以整小時(shí)計(jì)算)?(參考數(shù)據(jù):,)
駕駛行為類型 | 閥值 |
飲酒后駕車 | , |
醉酒后駕車 |
車輛駕車人員血液酒精含量閥值
喝1瓶啤酒的情況
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:對(duì)棱相等的四面體為等腰四面體.
(1)若等腰四面體的每條棱長都是,求該等腰四面體的體積;
(2)求證:等腰四面體每個(gè)面的三角形均為銳角三角形:
(3)設(shè)等腰四面體的三個(gè)側(cè)面與底面所成的角分別為,請(qǐng)判斷是否為定值?如果是定值,請(qǐng)求出該定值;如果不是定值,請(qǐng)說明理由.
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科目:
來源: 題型:【題目】樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山,堅(jiān)持人與自然和諧共生”的理念越來越深入人心,已形成了全民自覺參與,造福百姓的良性循環(huán).據(jù)此,某網(wǎng)站推出了關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)進(jìn)展情況的調(diào)查,大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明,參與調(diào)查者中關(guān)注此問題的約占80%.現(xiàn)從參與調(diào)查的人群中隨機(jī)選出人,并將這人按年齡分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示:
(1)求的值;
(2)求出樣本的平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(3)現(xiàn)在要從年齡較小的第1,2組中用分層抽樣的方法抽取人,再從這人中隨機(jī)抽取人進(jìn)行問卷調(diào)查,求第2組中抽到人的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】湖北省2019年公布了新的高考方案,實(shí)行“3+1+2”模式.某學(xué)生按方案要求任意選擇,則該生選擇考?xì)v史和化學(xué)的概率為_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖正方體的棱長為1,線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A. 與所成角為
B. 三棱錐的體積為定值
C. 平面
D. 二面角是定值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和為,,且.
(1)求的通項(xiàng)公式.
(2)對(duì)任意,將數(shù)列中落在區(qū)間內(nèi)的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)記為,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)共有員工10000人,下圖是通過隨機(jī)抽樣得到的該企業(yè)部分員工年收入(單位:萬元)頻率分布直方圖.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算樣本的平均數(shù).并以此估算該企業(yè)全體員工中年收入不低于樣本平均數(shù)的人數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)以這數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表);
(2)若抽樣調(diào)查中收入在萬元員工有2人,求在收入在萬元的員工中任取3人,恰有2位員工收入在萬元的概率;
(3)若抽樣調(diào)查的樣本容量是400人,在這400人中:年收入在萬元的員工中具有大學(xué)及大學(xué)以上學(xué)歷的有,年收入在萬元的員工中不具有大學(xué)及大學(xué)以上學(xué)歷的有,將具有大學(xué)及大學(xué)以上學(xué)歷和不具有大學(xué)及大學(xué)以上學(xué)歷的員工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表,并判斷能否有的把握認(rèn)為具有大學(xué)及大學(xué)以上學(xué)歷和不具有大學(xué)及大學(xué)以上學(xué)歷的員工收入有差異?
具有大學(xué)及大學(xué)以上學(xué)歷 | 不具有大學(xué)及大學(xué)以上學(xué)歷 | 合計(jì) | |
萬元員工 | |||
萬元員工 | |||
合計(jì) |
附:;
0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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