【題目】定義:對棱相等的四面體為等腰四面體.
(1)若等腰四面體的每條棱長都是,求該等腰四面體的體積;
(2)求證:等腰四面體每個面的三角形均為銳角三角形:
(3)設(shè)等腰四面體的三個側(cè)面與底面所成的角分別為,請判斷是否為定值?如果是定值,請求出該定值;如果不是定值,請說明理由.
【答案】(1)(2)證明見解析;(3)是定值;定值為1
【解析】
由條件,四面體的對棱相等,則可以將四面體放到長方體中去.
(1)當?shù)妊拿骟w的每條棱長都是時,長方體是正方體,且正方體的棱長為,該等腰四面體的體積為正方體的體積減去4個角上的4個全等的小三棱錐的體積,則可求出答案.
(2)設(shè)長方體的長、寬、高分別為,在該四面體的每個面中,任意兩邊的平方之和都大于第三邊的平方,從而可證.
(3)過作平面交平面于點,為面與底面所成的角, ,根據(jù)題意設(shè),面與底面所成的角分別為,同理可得:,又≌≌≌,從而可得答案.
由條件,四面體的對棱相等,則可以將四面體放到長方體中去,如圖.
(1)當?shù)妊拿骟w的每條棱長都是時,長方體是正方體,且正方體的棱長為.
此時該等腰四面體的體積為正方體的體積減去4個角上的4個全等的小三棱錐的體積.
所以.
(2)設(shè)長方體的長、寬、高分別為.
則,,.
在面中,
所以為銳角.
同理:在該四面體的每個面中,任意兩邊的平方之和都大于第三邊的平方.
根據(jù)余弦定理可得,每個面中的三角形均為銳角三角形.
所以等腰四面體每個面的三角形均為銳角三角形.
(3) 的值為定值1.
過作平面交平面于點,則
過作交于,所以平面,則.
所以為面與底面所成的角,設(shè)
設(shè)面與底面所成的角分別為.
同理可得:
又≌≌≌
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項和滿足:(為常數(shù),且,).
(1)求的通項公式;
(2)設(shè),若數(shù)列為等比數(shù)列,求的值;
(3)在滿足條件(2)的情形下,設(shè),數(shù)列的前項和為,若不等式對任意的恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】由國家公安部提出,國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗檢疫總局發(fā)布的《車輛駕駛?cè)藛T血液、呼氣酒精含量閥值與檢驗標準(GB/T19522-2010)》于2011年7月1日正式實施.車輛駕駛?cè)藛T酒飲后或者醉酒后駕車血液中的酒精含量閥值見表.經(jīng)過反復試驗,一般情況下,某人喝一瓶啤酒后酒精在人體血液中的變化規(guī)律的“散點圖”見圖,且圖表示的函數(shù)模型,則該人喝一瓶啤酒后至少經(jīng)過多長時間才可以駕車(時間以整小時計算)?(參考數(shù)據(jù):,)
駕駛行為類型 | 閥值 |
飲酒后駕車 | , |
醉酒后駕車 |
車輛駕車人員血液酒精含量閥值
喝1瓶啤酒的情況
A. B. C. D.
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【題目】某鋼鐵加工廠新生產(chǎn)一批鋼管,為了了解這批產(chǎn)品的質(zhì)量狀況,檢驗員隨機抽取了件鋼管作為樣本進行檢測,將它們的內(nèi)徑尺寸作為質(zhì)量指標值,由檢測結(jié)果得如下頻率分布表和頻率分布直方圖:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
合計 |
(1)求,;
(2)根據(jù)質(zhì)量標準規(guī)定:鋼管內(nèi)徑尺寸大于等于或小于為不合格,鋼管內(nèi)徑尺寸在或為合格,鋼管內(nèi)徑尺寸在為優(yōu)等.鋼管的檢測費用為元/根,把樣本的頻率分布作為這批鋼管的概率分布.
(i)若從這批鋼管中隨機抽取根,求內(nèi)徑尺寸為優(yōu)等鋼管根數(shù)的分布列和數(shù)學期望;
(ii)已知這批鋼管共有根,若有兩種銷售方案:
第一種方案:不再對該批剩余鋼管進行檢測,扣除根樣品中的不合格鋼管后,其余所有鋼管均以元/根售出;
第二種方案:對該批鋼管進行一一檢測,不合格鋼管不銷售,并且每根不合格鋼管損失元,合格等級的鋼管元/根,優(yōu)等鋼管元/根.
請你為該企業(yè)選擇最好的銷售方案,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】疫情期間,有一批貨物需要用汽車從城市甲運至城市乙,已知從城市甲到城市乙只有兩條公路,且通過這兩條公路所用的時間互不影響.據(jù)調(diào)查統(tǒng)計,通過這兩條公路從城市甲到城市乙的200輛汽車所用時間的頻數(shù)分布如下表:
所用時間 | 10 | 11 | 12 | 13 |
通過公路1的頻數(shù) | 20 | 40 | 20 | 20 |
通過公路2的頻數(shù) | 10 | 40 | 40 | 10 |
(1)為進行某項研究,從所用時間為12的60輛汽車中隨機抽取6輛,若用分層隨機抽樣的方法抽取,求從通過公路1和公路2的汽車中各抽取幾輛:
(2)若從(1)的條件下抽取的6輛汽車中,再任意抽取2輛汽車,求這2輛汽車至少有1輛通過公路1的概率;
(3)假設(shè)汽車A只能在約定時間的前11h出發(fā),汽車B只能在約定時間的前12h出發(fā).為了盡最大可能在各自允許的時間內(nèi)將貨物從城市甲運到城市乙,汽車A和汽車B應(yīng)如何選擇各自的道路?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角梯形中,,,,,,為線段(含端點)上的一個動點.設(shè),,對于函數(shù),下列描述正確的是( )
A.的最大值和無關(guān)B.的最小值和無關(guān)
C.的值域和無關(guān)D.在其定義域上的單調(diào)性和無關(guān)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求曲線在點處的切線方程;
(2)若函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,設(shè)函數(shù),若在上至少存在一點,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,,為的中點,平面,垂足是線段上的靠近點的三等分點.已知
(1)證明:;
(2)若點是線段上一點,且平面平面.試求的值.
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