【題目】已知函數(shù)，.

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.

(2)當(dāng)時，是否存在，使得成立？若存在，求實數(shù)的取值范圍，若不存在，請說明理由.

【答案】（1）分類討論，詳見解析；（2）.

【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域，接著求導(dǎo)，對參數(shù)分類討論。

（2）假設(shè)存在，使得成立，則對，滿足，將問題轉(zhuǎn)化為求與。

解：（1），

當(dāng)時，恒成立，即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間，所以不存在極值．

當(dāng)時，令，得,當(dāng)時，，當(dāng)時，，

故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，此時函數(shù)在處取得極大值，極大值為，無極小值．

綜上，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間，不存在極值．當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，極大值為，無極小值

（2）當(dāng)時，假設(shè)存在，使得成立，則對，滿足

由可得，

.

令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，

所以

由（1）可知，①當(dāng)時，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以的最小值是．

②當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以的最小值是．

③當(dāng)時，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又，所以當(dāng)時，在上的最小值是.當(dāng)時，在上的最小值是

所以當(dāng)時，在上的最小值是，故，

解得,所以．

當(dāng)時，函數(shù)在上的最小值是，故，

解得，所以.故實數(shù)的取值范圍是

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平均每月進行訓(xùn)練的天數(shù)

人數(shù)

15

60

25

（1）以這100人平均每月進行訓(xùn)練的天數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替該市參與馬拉松訓(xùn)練的人平均每月進行訓(xùn)練的天數(shù)位于該區(qū)間的概率．從該市所有參與馬拉松訓(xùn)練的人中隨機抽取4個人，求恰好有2個人是“平均每月進行訓(xùn)練的天數(shù)不少于20天”的概率；

（2）依據(jù)統(tǒng)計表，用分層抽樣的方法從這100個人中抽取12個，再從抽取的12個人中隨機抽取3個，表示抽取的是“平均每月進行訓(xùn)練的天數(shù)不少于20天”的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望

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