Question

【題目】已知函數(shù)，，其中a為常數(shù)，且曲線在其與y軸的交點(diǎn)處的切線記為，曲線在其與x軸的交點(diǎn)處的切線記為，且．

求，之間的距離；

若存在x使不等式成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

對于函數(shù)和的公共定義域中的任意實(shí)數(shù)，稱的值為兩函數(shù)在處的偏差求證：函數(shù)和在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見證明

【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合題意求出a的值，求出，的解析式，求出平行線間的距離即可；令，問題轉(zhuǎn)化為，求出m的范圍即可；

法一：令，，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最小值，證明即可；法二：令，，令，；令，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

，，

的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，

的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，

由題意得，即，

又，

，，

函數(shù)和的圖象在其坐標(biāo)軸的交點(diǎn)處的切線方程分別為：

，，

兩平行切線間的距離為

由，得，

故在有解，

令，則，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，

，

，，

，

故，

即在區(qū)間上單調(diào)遞減，

故，，

即實(shí)數(shù)m的取值范圍為

解法一：

函數(shù)和的偏差為：，，

，設(shè)為的解，則

則當(dāng)，；當(dāng)，，

在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

，

，，，

故F，

即函數(shù)和在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于

解法二：

由于函數(shù)和的偏差：，，

令，；令，，

，，

在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

，，

，

即函數(shù)和在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于