【題目】如圖,某公園內(nèi)有一個以O為圓心,半徑為5百米,圓心角為的扇形人工湖OAB,OM、ON是分別由OA、OB延伸而成的兩條觀光道.為便于游客觀光,公園的主管部門準備在公園內(nèi)增建三條觀光道,其中一條與相切點F,且與OM、ON分別相交于C、D,另兩條是分別和湖岸OA、OB垂直的FG、FH (垂足均不與O重合).

(1) 求新增觀光道FGFH長度之和的最大值;

(2) 在觀光道ON段上距離O為15百米的E處的道路兩側(cè)各有一個大型娛樂場,為了不影響娛樂場平時的正常開放,要求新增觀光道CD的延長線不能進入以E為圓心,2.5百米為半徑的圓形E的區(qū)域內(nèi).則點D應選擇在OE之間的什么位置?請說明理由.

【答案】 (1) 新增觀光道FGFH長度之和的最大值是百米;(2) 點D應選擇在O與E之間,且到點O的距離在區(qū)間 (單位:百米)內(nèi)的任何一點處.

【解析】

(1)連結(jié)OF,OFCD于點F,則OF=5.設∠FODθ,則FG+FH=5sin(-θ)+5sinθ,利用兩角和與差的正弦公式化簡,即可得到新增觀光道FG、FH長度之和的最大值;

(2)O為坐標原點,以ON所在的直線為x軸,建立平面直角坐標系xOy.可得圓O的方程,圓E的方程,根據(jù)直線和圓的位置關系得到答案即可.

(1) 連結(jié)OFOFCD于點F,則OF=5.設∠FODθ,

則∠FOCθ (θ),故FH=5sinθ,FG=5sin(θ),

FGFH=5sin(θ)+5sinθ

=5(cosθsinθ+sinθ)=5(sinθcosθ)=5sin(θ),

因為θ,所以θ,

所以當θ,即θ時,(FGFH)max

(2) 以O為坐標原點,以ON所在的直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標系xOy

由題意,可知直線CD是以O為圓心,5為半徑的圓O的切線,直線CD與圓E相離,且點O在直線CD下方,點E在直線CD上方.由OF=5,圓E的半徑為2.5,因為圓O的方程為x2y2=25,

E的方程為(x-15)2y2=6.25,

設直線CD的方程為ykxt (-k<0,t>0),

kxyt=0,設點D(xD,0)

由①得t=5,

代入②得,解得k2>

又由-k<0,得0<k2<3,故k2<3,即<3.

ykxt中,令y=0,解得xD,所以xD<10.

答:(1) 新增觀光道FG、FH長度之和的最大值是百米;

(2) 點D應選擇在O與E之間,且到點O的距離在區(qū)間 (單位:百米)內(nèi)的任何一點處.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標系xOy中,圓O:與坐標軸分別交于A1,A2,B1,B2(如圖).

(1)點Q是圓O上除A1,A2外的任意點(如圖1),直線A1Q,A2Q與直線交于不同的兩點M,N,求線段MN長的最小值;

(2)點P是圓O上除A1,A2,B1,B2外的任意點(如圖2),直線B2Px軸于點F,直線A1B2A2P于點E.設A2P的斜率為k,EF的斜率為m,求證:2mk為定值.

(圖1) (圖2)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】給出函數(shù)如下表,則f〔g(x)〕的值域為( )

x

1

2

3

4

g(x)

1

1

3

3

x

1

2

3

4

f(x)

4

3

2

1

A. {4,2} B. {1,3} C. {1,2,3,4} D. 以上情況都有可能

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),,.

(Ⅰ)若直線與曲線相切于點,證明:;

(Ⅱ)若不等式有且僅有兩個整數(shù)解,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某大型企業(yè)為鼓勵員工利用網(wǎng)絡進行營銷,準備為員工辦理手機流量套餐.為了解員工手機流量使用情況,通過抽樣,得到100位員工每人手機月平均使用流量L(單位:M)的數(shù)據(jù),其頻率分布直方圖如圖.

1)從該企業(yè)的100位員工中隨機抽取1人,求手機月平均使用流量不超過900M的概率;

(2)據(jù)了解,某網(wǎng)絡運營商推出兩款流量套餐,詳情如下:

套餐名稱

月套餐費(單位:元)

月套餐流量(單位:M

A

20

700

B

30

1000

流量套餐的規(guī)則是:每月1日收取套餐費.如果手機實際使用流量超出套餐流量,則需要購買流量疊加包,每一個疊加包(包含200M的流量)需要10元,可以多次購買,如果當月流量有剩余,將會被清零.該企業(yè)準備訂購其中一款流量套餐,每月為員工支付套餐費,以及購買流量疊加包所需月費用.若以平均費用為決策依據(jù),該企業(yè)訂購哪一款套餐更經(jīng)濟?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】A,B分別為雙曲線 (a>0,b>0)的左、右頂點,雙曲線的實軸長為4,焦點到漸近線的距離為.

(1)求雙曲線的方程;

(2)已知直線yx-2與雙曲線的右支交于M,N兩點,且在雙曲線的右支上存在點D,使,求t的值及點D的坐標.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知正三棱錐的高為6,內(nèi)切球(與四個面都相切)表面積為,則其底面邊長為( )

A. 18 B. 12 C. D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某廣場要劃出一塊矩形區(qū)域,在其中開辟三塊完全相同的矩形綠化園圃,空白處均鋪設寬的走道,如圖.已知三塊園圃的總面積為,設園圃小矩形的一邊長為,區(qū)域的面積為(單位:).

1)求的最小值.

2)若區(qū)域的面積不超過,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】南充高中扎實推進陽光體育運動,積極引導學生走向操場,走進大自然,參加體育鍛煉,每天上午第三節(jié)課后全校大課間活動時長35分鐘.現(xiàn)為了了解學生的體育鍛煉時間,采用簡單隨機抽樣法抽取了100名學生,對其平均每日參加體育鍛煉的時間(單位:分鐘)進行調(diào)查,按平均每日體育鍛煉時間分組統(tǒng)計如下表:

分組

男生人數(shù)

2

16

19

18

5

3

女生人數(shù)

3

20

10

2

1

1

若將平均每日參加體育鍛煉的時間不低于120分鐘的學生稱為鍛煉達人”.

1)將頻率視為概率,估計我校7000名學生中鍛煉達人有多少?

2)從這100名學生的鍛煉達人中按性別分層抽取5人參加某項體育活動.

①求男生和女生各抽取了多少人;

②若從這5人中隨機抽取2人作為組長候選人,求抽取的2人中男生和女生各1人的概率.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案