(12分)已知拋物線的焦點為,準(zhǔn)線為,過上一點P作拋物線的兩切線,切點分別為A、B,
(1)求證:;
(2)求證:A、F、B三點共線;
(3)求的值.
(3)
解析試題分析:(1)準(zhǔn)線為y=-1,F(0,1),設(shè)P(n,-1),,
因為,所以,
所以,即,
,即,
所以a,b是方程,
所以,
所以.
(2)由(1)知a+b=2n,,
所以直線AB的方程為即
因為a+b=2n,ab=-4,所以直線AB的方程為,
所以恒過點F(0,1).
(3)
,
因為,所以,
所以為常數(shù).
考點:直線與拋物線的相切,直線的斜率,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,向量的數(shù)量積.
點評:根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,分別求出切點A,B處的導(dǎo)數(shù)即A,B的斜率,然后證明斜率之積為-1,來證明兩條切線垂直.證明A,B,F(xiàn)三點共線,關(guān)鍵是利用第(1)問的結(jié)果,求出AB的點方程,證明點F的坐標(biāo)滿足此方程即可.第(3)問分別求出和都用n表示,從而證明其為定值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本題滿分12分)已知橢圓經(jīng)過點,且其右焦點與拋物線的焦點F重合.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(II)直線經(jīng)過點與橢圓相交于A、B兩點,與拋物線相交于C、D兩點.求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)分別是橢圓的左,右焦點。
(1)若是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點,且·=求點的坐標(biāo)。
(2)設(shè)過定點的直線與橢圓交于不同的兩點,且為銳角(其中O為坐標(biāo)原點),求直線的斜率的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本題滿分12分)設(shè)橢圓C1:的左、右焦點分別是F1、F2,下頂點為A,線段OA的中點為B(O為坐標(biāo)原點),如圖.若拋物線C2:與軸的交點為B,且經(jīng)過F1,F(xiàn)2點.
(Ⅰ)求橢圓C1的方程;
(Ⅱ)設(shè)M(0,),N為拋物線C2上的一動點,過點N作拋物線C2的切線交橢圓C1于P、Q兩點,求面積的最大值.
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(本題滿分9分)已知頂點在原點,焦點在軸上的拋物線過點.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點作直線交拋物線于兩點,使得恰好平分線段,求直線的方程
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在直角坐標(biāo)系中,點到兩點的距離之和為4,設(shè)點的軌跡為,直線與交于兩點。
(Ⅰ)寫出的方程; (Ⅱ)若,求的值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
若橢圓的離心率為,焦點在軸上,且長軸長為10,曲線上的點與橢圓的兩個焦點的距離之差的絕對值等于4.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求曲線的方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(12分)已知橢圓C:(a>b>0)的一個頂點為A(2,0),離心率為,直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點M、N.
①求橢圓C的方程.
②當(dāng)⊿AMN的面積為時,求k的值.
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