Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2﹣3x，函數(shù)g（x）的圖象在點(diǎn)（1，g（x））處的切線平行于x軸．
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)g（x）的極小值；
（3）設(shè)斜率為k的直線與函數(shù)f（x）的圖象交于兩點(diǎn)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），（x1＜x2），證明： ＜k＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意得g（x）=lnx+ax2﹣3x，則 ．

由函數(shù)g（x）的圖象在點(diǎn)（1，g（x））處的切線平行于x軸得：g′（1）=1+2a﹣3=0

∴a=1

（2）解：解：函數(shù)g（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．

由（1）得

令g′（x）=0得x= 或x=1．

∴函數(shù)故（x）在（0， ），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（ ，1）單調(diào)遞減．

故函數(shù)g（x）的極小值為g（1）=﹣2

（3）證明：依題意得 = ，

∴l(xiāng)nx2﹣kx2=lnx1﹣kx1，

令h（x）=lnx﹣kx，則h′（x）= ，

由h′（x）=0得 ，當(dāng)x＞ 時，h′（x）＜0，當(dāng)0＜x＜ 時，h′（x）＞0，

∴h（x）在（0， ）單調(diào)遞增，在（ ，+∞）單調(diào)遞減，

又h（x1）=h（x2），

∴ ，即 ＜k＜

【解析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用由函數(shù)g（x）的圖象在點(diǎn)（1，g（x））處的切線平行于x軸，可得：g′（1）=0，即可求a的值；（2）確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)g（x）的極小值；（3）表示出直線的斜率，再構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，即可證明結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的極值和不等式的證明的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況；不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學(xué)歸納法等．