【題目】設各項均為整數(shù)的無窮數(shù)列滿足：，且對所有，均成立.

（1）寫出的所有可能值（不需要寫計算過程）；

（2）若是公差為1的等差數(shù)列，求的通項公式；

（3）證明：存在滿足條件的數(shù)列，使得在該數(shù)列中，有無窮多項為2019.

【答案】（1），，，1，3，5，7；（2），；（3）證明見解析.

【解析】

（1）通過列舉法表示出所有可能值

（2）分析可知表示的是原數(shù)列中的奇數(shù)項，求得奇數(shù)項的通項公式，再利用相鄰兩項差的絕對值的關系構造關系式解出偶數(shù)項，進而求得通項

（3）可利用（2）中的數(shù)列，構造一個循環(huán)數(shù)列，則可證明循環(huán)數(shù)列中存在無窮多項為2019

（1），，，1，3，5，7；

（2）是公差為1的等差數(shù)列，

數(shù)列的所有奇數(shù)項為公差為1的等差數(shù)列，

當時，

當時，由可知：，即

解得：，；

（3）由（2）可知存在一個數(shù)列使得奇數(shù)項為從1開始的連續(xù)自然數(shù)，則易知，

然后自4037項開始，構造奇數(shù)項為公差為的等差數(shù)列，由（2）可知，

當，時，

當時，由可知

即，解得：

則當奇數(shù)項取至1時，重復第一段的數(shù)列，得到一個周期數(shù)列，在此周期數(shù)列中，存在無窮多項為2019，即可得證．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)，且），且數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列．

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）若，當時，求數(shù)列的前項和的最小值；

（3）若，問是否存在實數(shù)，使得是遞增數(shù)列？若存在，求出的范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知無窮數(shù)列的前n項和為，記， ，…， 中奇數(shù)的個數(shù)為．

(Ⅰ)若= n，請寫出數(shù)列的前5項；

(Ⅱ)求證："為奇數(shù)， (i = 2,3,4,...）為偶數(shù)”是“數(shù)列是單調遞增數(shù)列”的充分不必要條件；

(Ⅲ)若，i=1, 2, 3,…，求數(shù)列的通項公式.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}是以d為公差的等差數(shù)列，{bn}數(shù)列是以q為公比的等比數(shù)列．

（1）若數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，且a1＝b1＝d＝2，S3＜a1003+5b2﹣2010，求整數(shù)q的值；

（2）在（1）的條件下，試問數(shù)列中是否存在一項bk，使得bk恰好可以表示為該數(shù)列中連續(xù)p（p∈N，p≥2）項的和？請說明理由；

（3）若b1＝ar，b2＝as≠ar，b3＝at（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的約數(shù)），求證：數(shù)列{bn}中每一項都是數(shù)列{an}中的項．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，以橢圓（）的右焦點為圓心，為半徑作圓（其中為已知橢圓的半焦距），過橢圓上一點作此圓的切線，切點為.

（1）若，為橢圓的右頂點，求切線長；

（2）設圓與軸的右交點為，過點作斜率為（）的直線與橢圓相交于、兩點，若恒成立，且.求：

（�。�的取值范圍；

（ⅱ）直線被圓所截得弦長的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知曲線，對坐標平面上任意一點,定義,若兩點,，滿足，稱點,在曲線同側；，稱點,在曲線兩側.

(1)直線過原點，線段上所有點都在直線同側，其中，,求直線的傾斜角的取值范圍；

(2)已知曲線，為坐標原點，求點集的面積；

(3)記到點與到軸距離和為的點的軌跡為曲線，曲線，若曲線上總存在兩點,在曲線兩側,求曲線的方程與實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某溫室大棚規(guī)定，一天中，從中午12點到第二天上午8點為保溫時段，其余4小時為工作作業(yè)時段，從中午12點連續(xù)測量20小時，得出此溫室大棚的溫度y（單位：度）與時間t（單位：小時，）近似地滿足函數(shù)關系，其中，b為大棚內一天中保溫時段的通風量。

（1）若一天中保溫時段的通風量保持100個單位不變，求大棚一天中保溫時段的最低溫度（精確到0.1℃）；

（2）若要保持一天中保溫時段的最低溫度不小于17℃，求大棚一天中保溫時段通風量的最小值。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】對于定義在上的函數(shù),若函數(shù)滿足：①在區(qū)間上單調遞減，②存在常數(shù),使其值域為，則稱函數(shù)是函數(shù)的“漸近函數(shù)”.

(1)判斷函數(shù)是不是函數(shù)的“漸近函數(shù)”，說明理由；

(2)求證：函數(shù)不是函數(shù)的“漸近函數(shù)”；

(3)若函數(shù)，,求證：當且僅當時,是的“漸近函數(shù)”.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某服裝廠生產一種服裝，每件服裝成本為40元，出廠單價定為60元，該廠為鼓勵銷售商訂購，規(guī)定當一次訂購量超過100件時，每多訂購一件，訂購的全部服裝的出廠單價就降低元，根據(jù)市場調查，銷售商一次訂購不會超過600件.

（1）設一次訂購件，服裝的實際出廠單價為元，寫出函數(shù)的表達式；

（2）當銷售商一次訂購多少件服裝時，該廠獲得的利潤最大？其最大利潤是多少？

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