Question

【題目】如圖，以橢圓（）的右焦點為圓心，為半徑作圓（其中為已知橢圓的半焦距），過橢圓上一點作此圓的切線，切點為.

（1）若，為橢圓的右頂點，求切線長；

（2）設(shè)圓與軸的右交點為，過點作斜率為（）的直線與橢圓相交于、兩點，若恒成立，且.求：

（ⅰ）的取值范圍；

（ⅱ）直線被圓所截得弦長的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（ⅰ），（ⅱ）.

【解析】

（1）利用求得，進(jìn)而得到，利用勾股定理可求得切線長；

（2）（�。┯�恒成立可知；根據(jù)切線長的求解可知當(dāng)最小時，最小，從而構(gòu)造出不等式求得的范圍；

（ⅱ）設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立后寫出韋達(dá)定理的形式，同時利用韋達(dá)定理表示出，根據(jù)垂直關(guān)系可得，從而構(gòu)造等式求得，得到直線方程；利用垂徑定理可將所求弦長化為，采用換元法，可將等式右側(cè)變?yōu)殛P(guān)于的函數(shù)的形式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求得函數(shù)的最大值，即為所求弦長的最大值.

（1）由得：

當(dāng)為橢圓右頂點時，

又圓的半徑為

（2）（�。┊�(dāng)取得最小值時，取得最小值

，則，即

又，，解得：

即的取值范圍為

（ⅱ）由題意得：，則直線

聯(lián)立得：

設(shè)，，則，

，整理可得：

又 直線，即

圓心距離，又半徑

直線被圓截得的弦長為

令，則，令

當(dāng)，即時，

即直線被圓截得的弦長的最大值為