【題目】已知拋物線,點(diǎn)
(1)求點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)的距離;
(2)設(shè)斜率為的直線與拋物線交于兩點(diǎn),若的面積為,求直線的方程;
(3)是否存在定圓,使得過曲線上任意一點(diǎn)作圓的兩條切線,與曲線交于另外兩點(diǎn)時,總有直線也與圓相切?若存在,求出的值,若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2);(3)存在實數(shù)
【解析】
(1)由拋物線方程求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式,即可求出距離;
(2)設(shè)直線的方程為,代入拋物線的方程,由弦長公式求出,點(diǎn)到直線的距離公式求出的高,再依據(jù)三角形的面積公式,解方程可得,進(jìn)而得到直線方程;
(3)假設(shè)存在,根據(jù)一般到特殊的原理,取,設(shè)切線為,聯(lián)立拋物線方程,求出點(diǎn)以及直線,由相切可得.再由特殊到一般,證明對任意的動點(diǎn),直線與圓相切,即可說明存在,使得直線與圓相切.
(1)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,
則點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)的距離為.
(2)設(shè)直線的方程為,
把方程代入拋物線,可得,
,,
,
點(diǎn)到直線的距離,
,
解得,所以直線的方程.
(3)假設(shè)存在.取,圓,設(shè)切線為,
由,解得,①
將直線代入拋物線方程,
解得,,
直線的方程為,
若直線和圓相切,可得②
由①②解得,.
下證時,對任意的動點(diǎn),直線和圓相切.
理由如下:設(shè),, ,
由,可得,
,,
又直線與曲線相交于,,
由,代入拋物線方程可得,
可得,,
則,是方程的兩根,
即有,即,同理.
則有,,
直線,
即為,
則圓心到直線的距離為
,
由,
代入上式,化簡可得,
則有對任意的動點(diǎn),存在實數(shù),使得直線與圓相切.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】第28屆金雞百花電影節(jié)將于11月19日至23日在福建省廈門市舉辦,近日首批影展片單揭曉,《南方車站的聚會》《春江水暖》《第一次的離別》《春潮》《抵達(dá)之謎》五部優(yōu)秀作品將在電影節(jié)進(jìn)行展映.若從這五部作品中隨機(jī)選擇兩部放在展映的前兩位,則《春潮》與《抵達(dá)之謎》至少有一部被選中的概率為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知的三個頂點(diǎn)均在拋物線上,給出下列命題:
①若直線過點(diǎn),則存在使拋物線的焦點(diǎn)恰為的重心;
②若直線過點(diǎn),則存在點(diǎn)使為直角三角形;
③存在,使拋物線的焦點(diǎn)恰為的外心;
④若邊的中線軸,,則的面積為.
其中正確的序號為______________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】交強(qiáng)險是車主必須為機(jī)動車購買的險種,若普通6座以下私家車投保交強(qiáng)險第一年的費(fèi)用(基準(zhǔn)保費(fèi))統(tǒng)一為a元,在下一年續(xù)保時,實行的是費(fèi)率浮動機(jī)制,保費(fèi)與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系,發(fā)生交通事故的次數(shù)越多,費(fèi)率也就越高,具體浮動情況如下表:
交強(qiáng)險浮動因素和浮動費(fèi)率比率表 | ||
浮動因素 | 浮動比率 | |
上一年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮10% | |
上兩年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮 | |
上三年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮30% | |
上一個年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故 | 0% | |
上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故 | 上浮10% | |
上一個年度發(fā)生有責(zé)任交通死亡事故 | 上浮30% | |
某機(jī)構(gòu)為了解某一品牌普通6座以下私家車的投保情況,隨機(jī)抽取了
類型 | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 |
數(shù)量 | 10 | 5 | 5 | 20 | 15 | 5 |
以這60輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率,完成下列問題:
(1)按照我國《機(jī)動車交通事故責(zé)任強(qiáng)制保險條例》汽車交強(qiáng)險價格的規(guī)定,,記為某同學(xué)家的一輛該品牌車在第四年續(xù)保時的費(fèi)用,求的分布列與數(shù)學(xué)期望;(數(shù)學(xué)期望值保留到個位數(shù)字)
(2)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車,且將下一年的交強(qiáng)險保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車輛記為事故車,假設(shè)購進(jìn)一輛事故車虧損5000元,一輛非事故車盈利10000元:
①若該銷售商購進(jìn)三輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求這三輛車中至多有一輛事故車的概率;
②若該銷售商一次購進(jìn)100輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求他獲得利潤的期望值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了了解居民的家庭收入情況,某社區(qū)組織工作人員從該社區(qū)的居民中隨機(jī)抽取了戶家庭進(jìn)行問卷調(diào)查,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),這些家庭的月收人在元到元之間,根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)作出:
(1)經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn),該社區(qū)居民的家庭月收人(單位:百元)近似地服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數(shù).若落在區(qū)間的左側(cè),則可認(rèn)為該家庭屬“收入較低家庭" ,社區(qū)將聯(lián)系該家庭,咨詢收入過低的原因,并采取相應(yīng)措施為該家庭提供創(chuàng)收途徑.若該社區(qū)家庭月收入為元,試判斷家庭是否屬于“收人較低家庭”,并說明原因;
(2)將樣本的頻率視為總體的概率
①從該社區(qū)所有家庭中隨機(jī)抽取戶家庭,若這戶家庭月收人均低于元的概率不小于,求的最大值;
②在①的條件下,某生活超市贊助了該社區(qū)的這次調(diào)查活動,并為這次參與調(diào)在的家庭制定了贈送購物卡的活動,贈送方式為:家庭月收入低于的獲贈兩次隨機(jī)購物卡,家庭月收入不低于的獲贈一次隨機(jī)購物卡;每次贈送的購物卡金額及對應(yīng)的概率分別為:
贈送購物卡金額(單位:元) | |||
概率 |
則家庭預(yù)期獲得的購物卡金額為多少元?(結(jié)果保留整數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為,曲線的參數(shù)方程為:(為參數(shù)),,為直線上距離為的兩動點(diǎn),點(diǎn)為曲線上的動點(diǎn)且不在直線上.
(1)求曲線的普通方程及直線的直角坐標(biāo)方程.
(2)求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:,(a>b>0)過點(diǎn)(1,)且離心率為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的右頂點(diǎn)為P,過定點(diǎn)(2,﹣1)的直線l:y=kx+m與橢圓C相交于異于點(diǎn)P的A,B兩點(diǎn),若直線PA,PB的斜率分別為k1,k2,求k1+k2的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線的參數(shù)方程為,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線與曲線兩交點(diǎn)所在直線的極坐標(biāo)方程;
(2)若直線的極坐標(biāo)方程為,直線與軸的交點(diǎn)為,與曲線相交于兩點(diǎn),求的值.
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