【題目】如圖，四棱錐中， ，且平面， 為棱的中點．

(1)求證： ∥平面;

(2)求證：平面平面;

(3)當四面體的體積最大時，判斷直線與直線是否垂直，并說明理由．

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】試題分析：（1）取線段的中點，利用平幾知識得四邊形是平行四邊形,得，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論，（2）先根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得.再根據(jù)線面垂直性質(zhì)得，由線面垂直判定定理得平面.即得平面.最后根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)論，（3）先根據(jù)體積公式得時體積最大.再根據(jù)線面垂直得. 由線面垂直判定定理得平面，即得

試題解析：

（1）證明：取線段的中點，連接.

因為為棱的中點，

所以在中， .

又， ,所以.

所以四邊形是平行四邊形, 所以.

又平面, 平面,所以平面.

（2）因為, 為中點,所以.

又平面, 平面,所以

又,所以平面.

又，所以平面.

因為平面,所以平面平面.

（3）.

設(shè)，

則四面體的體積 .

當，即時體積最大.

又平面, 平面,所以.

因為,所以平面.

因為平面，所以.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： 的左、右焦點分別為， ，且離心率為， 為橢圓上任意一點，當時， 的面積為1.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知點是橢圓上異于橢圓頂點的一點，延長直線， 分別與橢圓交于點， ，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，求證： 為定值.

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）設(shè)由題，由此求出,可得橢圓的方程；

（2）設(shè)， ，

當直線的斜率不存在時，可得；

當直線的斜率不存在時，同理可得.

當直線、的斜率存在時，，

設(shè)直線的方程為，則由消去通過運算可得

，同理可得，由此得到直線的斜率為，

直線的斜率為，進而可得.

試題解析：（1）設(shè)由題，

解得，則，

橢圓的方程為.

（2）設(shè)， ，

當直線的斜率不存在時，設(shè)，則，

直線的方程為代入，可得，

， ，則，

直線的斜率為，直線的斜率為，

，

當直線的斜率不存在時，同理可得.

當直線、的斜率存在時，，

設(shè)直線的方程為，則由消去可得：

，

又，則，代入上述方程可得

，

，則

，

設(shè)直線的方程為，同理可得，

直線的斜率為，

直線的斜率為，

.

所以，直線與的斜率之積為定值，即.

【題型】解答題
【結(jié)束】
21

【題目】已知函數(shù)， ，在處的切線方程為.

（1）求， ；

（2）若，證明： .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某射擊運動員進行射擊訓練，前三次射擊在靶上的著彈點剛好是邊長為的等邊三角形的三個頂點.

（Ⅰ）第四次射擊時，該運動員瞄準區(qū)域射擊（不會打到外），則此次射擊的著彈點距的距離都超過的概率為多少？（彈孔大小忽略不計）

(Ⅱ) 該運動員前三次射擊的成績（環(huán)數(shù)）都在區(qū)間內(nèi)，調(diào)整一下后，又連打三槍，其成績（環(huán)數(shù)）都在區(qū)間內(nèi).現(xiàn)從這次射擊成績中隨機抽取兩次射擊的成績（記為和）進行技術(shù)分析.求事件“”的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，且過點．

（1）求橢圓的方程；

（2）過橢圓左焦點的直線與橢圓交于兩點，直線過坐標原點且直線與的斜率互為相反數(shù)，直線與橢圓交于兩點且均不與點重合，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為.證明： 為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，已知圓的半徑為2，圓心在軸的正半軸上，且與直線相切.

(1)求圓的方程。

(2)在圓上，是否存在點，使得直線與圓相交于不同的兩點，且△的面積最大？若存在，求出點的坐標及對應(yīng)的△的面積；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】△ABC在內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB.

（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若b=2，求△ABC面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了配合新冠疫情防控，某市組織了以“停課不停學，成長不停歇”為主題的“空中課堂”，為了了解一周內(nèi)學生的線上學習情況，從該市中抽取1000名學生進行調(diào)査，根據(jù)所得信息制作了如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）為了估計從該市任意抽取的3名同學中恰有2人線上學習時間在[200,300）的概率，特設(shè)計如下隨機模擬的方法：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，依次用0,1,2,3，…9的前若干個數(shù)字表示線上學習時間在[200,300）的同學，剩余的數(shù)字表示線上學習時間不在[200,300）的同學；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表線上學習的情況．

假設(shè)用上述隨機模擬方法已產(chǎn)生了表中的30組隨機數(shù)，請根據(jù)這批隨機數(shù)估計概率的值；

907 966 191 925 271 569 812 458 932 683 431 257 027 556

438 873 730 113 669 206 232 433 474 537 679 138 602 231

（2）為了進一步進行調(diào)查，用分層抽樣的方法從這1000名學生中抽出20名同學，在抽取的20人中，再從線上學習時間[350,450）（350分鐘至450分鐘之間）的同學中任意選擇兩名，求這兩名同學來自同一組的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，若函數(shù)有三個不同的零點，，（其中），則的取值范圍為__________．

【答案】

【解析】如圖：

，，作出函數(shù)圖象如圖所示

，，作出函數(shù)圖象如圖所示

，由有三個不同的零點

，如圖

令

得

為滿足有三個零點，如圖可得

，

點睛：本題考查了函數(shù)零點問題，先由導(dǎo)數(shù)求出兩個函數(shù)的單調(diào)性，繼而畫出函數(shù)圖像，再由函數(shù)的零點個數(shù)確定參量取值范圍，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的兩根問題來求解，本題需要化歸轉(zhuǎn)化，函數(shù)的思想，零點問題等較為綜合，有很大難度。

【題型】填空題
【結(jié)束】
17

【題目】已知等比數(shù)列的前項和為，且滿足.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】定義在上的函數(shù)滿足：對于任意實數(shù)都有恒成立，且當時，．

（Ⅰ）判定函數(shù)的單調(diào)性，并加以證明；

（Ⅱ）設(shè)，若函數(shù)有三個零點從小到大分別為，求的取值范圍．

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