【題目】已知函數(shù)(k為常數(shù))是實數(shù)集R上的奇函數(shù),其中e為自然對數(shù)的底數(shù)。
(1)求k的值;
(2)討論關于x的方程如的根的個數(shù)。
【答案】(1)k=0,(2)見解析
【解析】
(1)因為定義域是實數(shù)集R,直接利用奇函數(shù)定義域內(nèi)有0,則f(﹣0)=﹣f(0)即f(0)=0,即可求k的值;
(2)先把方程轉(zhuǎn)化為x2﹣2ex+m,令F(x)(x>0),G(x)=x2﹣2ex+m (x>0),再利用導函數(shù)分別求出兩個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,進而得到兩個函數(shù)的最值,比較其最值即可得出結論.
(1)因為函數(shù)f(x)=(k為常數(shù))是實數(shù)集R上的奇函數(shù),
所以f(﹣0)=﹣f(0)即f(0)=0,
則ln(e0+k)=0解得k=0,
顯然k=0時,f(x)=x是實數(shù)集R上的奇函數(shù);
(2)由(1)得f(x)=x
∴方程轉(zhuǎn)化為x2﹣2ex+m,令F(x)(x>0),G(x)=x2﹣2ex+m (x>0),
∵F'(x),令F'(x)=0,即0,得x=e
當x∈(0,e)時,F'(x)>0,∴F(x)在(0,e)上為增函數(shù);
當x∈(e,+∞)時,F'(x)<0,F(x)在(e,+∞)上為減函數(shù);
當x=e時,F(x)max=F(e)
而G(x)=(x﹣e)2+m﹣e2 (x>0)
∴G(x)在(0,e)上為減函數(shù),在(e,+∞)上為增函數(shù);
當x=e時,G(x)min=m﹣e2
∴當m,即m時,方程無解;
當m,即m時,方程有一個根;
當m,即m時,方程有兩個根;
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某學校為了教職工的住房問題,計劃征用一塊土地蓋一幢總建筑面積為的宿舍樓(每層的建筑面積相同).已知土地的征用費為元,土地的征用面積為第一層的倍,經(jīng)工程技術人員核算,第一層的建筑費用相同都為400元,以后每增高一層,其建筑費用就增加50元.試設計這幢宿舍樓的樓高層數(shù),使總費用最少,并求出其最少費用.(總費用為建筑費用和征地費用之和).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如果存在常數(shù),使得數(shù)列滿足:若是數(shù)列中的一項,則也是數(shù)列 中的一項,稱數(shù)列為“兌換數(shù)列”,常數(shù)是它的“兌換系數(shù)”.
(1)若數(shù)列:是“兌換系數(shù)”為的“兌換數(shù)列”,求和的值;
(2)已知有窮等差數(shù)列的項數(shù)是,所有項之和是,求證:數(shù)列是“兌換數(shù)列”,并用和表示它的“兌換系數(shù)”;
(3)對于一個不小于3項,且各項皆為正整數(shù)的遞增數(shù)列,是否有可能它既是等比數(shù)列,又是“兌換數(shù)列”?給出你的結論,并說明理由.
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【題目】已知數(shù)列滿足,,,數(shù)列滿足.
(1)證明是等差數(shù)列,并求的通項公式;
(2)設數(shù)列滿足,,記表示不超過x的最大整數(shù),求關于n的不等式的解集.
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【題目】如圖,已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD,E是SC上的一點.
(1)求證:平面EBD⊥平面SAC;
(2)設SA=4,AB=2,求點A到平面SBD的距離;
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【題目】有3名男生、4名女生,在下列不同條件下,求不同的排列方法總數(shù).
(1)選5人排成一排;
(2)排成前后兩排,前排4人,后排3人;
(3)全體排成一排,甲不站排頭也不站排尾;
(4)全體排成一排,女生必須站在一起;
(5)全體排成一排,男生互不相鄰.
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【題目】在四棱錐PABCD中,AD∥BC,平面PAC⊥平面ABCD,AB=AD=DC=1,
∠ABC=∠DCB=60,E是PC上一點.
(Ⅰ)證明:平面EAB⊥平面PAC;
(Ⅱ)若△PAC是正三角形,且E是PC中點,求三棱錐AEBC的體積.
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【題目】已知函數(shù),其中.
(Ⅰ)當a=1時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:
(Ⅱ)求函數(shù)的極值;
(Ⅲ)若函數(shù)有兩個不同的零點,求a的取值范圍。
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【題目】“割圓術”是劉徽最突出的數(shù)學成就之一,他在《九章算術注》中提出割圓術,并作為計算圓的周長,面積已經(jīng)圓周率的基礎,劉徽把圓內(nèi)接正多邊形的面積一直算到了正3072邊形,并由此而求得了圓周率為3.1415和3.1416這兩個近似數(shù)值,這個結果是當時世界上圓周率計算的最精確數(shù)據(jù).如圖,當分割到圓內(nèi)接正六邊形時,某同學利用計算機隨機模擬法向圓內(nèi)隨機投擲點,計算得出該點落在正六邊形內(nèi)的頻率為0.8269,那么通過該實驗計算出來的圓周率近似值為(參考數(shù)據(jù):)
A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.1413
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