Question

【題目】如果存在常數(shù)，使得數(shù)列滿足：若是數(shù)列中的一項(xiàng)，則也是數(shù)列 中的一項(xiàng)，稱數(shù)列為“兌換數(shù)列”，常數(shù)是它的“兌換系數(shù)”.

（1）若數(shù)列：是“兌換系數(shù)”為的“兌換數(shù)列”，求和的值；

（2）已知有窮等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是，所有項(xiàng)之和是，求證：數(shù)列是“兌換數(shù)列”，并用和表示它的“兌換系數(shù)”；

（3）對(duì)于一個(gè)不小于3項(xiàng)，且各項(xiàng)皆為正整數(shù)的遞增數(shù)列，是否有可能它既是等比數(shù)列，又是“兌換數(shù)列”？給出你的結(jié)論，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）a=6,m=5；（2）見解析；（3）

【解析】

本試題主要考查了數(shù)列的運(yùn)用。

解：（1）因?yàn)閿?shù)列：1,2,4(m>4)是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”

所以a-m,a-4,a-2,a-1也是該數(shù)列的項(xiàng)，且a-m<a-4<a-2<a-1-------------------1分

故a-m=1,a-4=2-------------------3分

即a=6,m=5 -------------------4分

（2）設(shè)數(shù)列的公差為d，因?yàn)閿?shù)列是項(xiàng)數(shù)為項(xiàng)的有窮等差數(shù)列

若

即對(duì)數(shù)列中的任意一項(xiàng)

-------------------6分

同理可得：若，也成立，

由“兌換數(shù)列”的定義可知，數(shù)列是 “兌換數(shù)列”；-------------------8分

又因?yàn)閿?shù)列所有項(xiàng)之和是B，所以，即------10分

（3）假設(shè)存在這樣的等比數(shù)列，設(shè)它的公比為q,(q>1)，

因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，所以

又因?yàn)閿?shù)列為“兌換數(shù)列”，則，所以是正整數(shù)

故數(shù)列必為有窮數(shù)列，不妨設(shè)項(xiàng)數(shù)為n項(xiàng)，------------------12分

則----------14分

① n=3則有，又，由此得q=1，與q>1矛盾；-------------------15分

②若。由，

即()，故q=1，與q>1矛盾；-------------------17分

綜合①②得，不存在滿足條件的數(shù)列。-------------------18分