【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,對任意的正整數(shù)n,都有Snann-3成立.

(1)求證:存在實數(shù)λ使得數(shù)列{anλ}為等比數(shù)列;

(2)求數(shù)列{nan}的前n項和Tn.

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析:(1)先根據(jù)和項與通項公式得項之間遞推關系an=3an-1-2,再構造an-1=3(an-1-1),由等比數(shù)列定義確定結論,(2)因為數(shù)列為等差與等比乘積型,所以利用錯位相減法求數(shù)列{nan}的前n項和Tn.

試題解析:(1)證明:因為Snann-3,①

所以當n=1時,S1a1+1-3,所以a1=4.

n≥2時,Sn-1an-1n-1-3,②

由①②兩式相減得ananan-1+1,即

an=3an-1-2(n≥2).變形得an-1=3(an-1-1),而a1-1=3,

所以數(shù)列{an-1}是首項為3,公比為3的等比數(shù)列,

所以存在實數(shù)λ=-1,使得數(shù)列{an-1}為等比數(shù)列.

(2)由(1)得an-1=3·3n-1=3n,

所以an=3n+1,nann·3nn,所以Tn=(1×31+2×32+3×33+…+n×3n)+(1+2+3+…+n),

Vn=1×31+2×32+3×33+…+n×3n,③

則3Vn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1,④

由③④兩式相減得

-2Vn=3+32+33+…+3nn×3n+1n×3n+1·3n+1,

所以Vn·3n+1,

Tn·3n+1.

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