【題目】如圖,已知, 是橢圓的左右焦點, 為橢圓的上頂點,點在橢圓上,直線與軸的交點為, 為坐標(biāo)原點,且, .
(1)求橢圓的方程;
(2)過點作兩條互相垂直的直線分別與橢圓交于, 兩點(異于點),證明:直線過定點,并求該定點的坐標(biāo).
【答案】(1);(2)證明見解析, .
【解析】試題分析:
(1)由題意可得為的中位線,從而可得,故,且,然后根據(jù)和可得, ,由此可得橢圓的方程.(2)分別設(shè)出直線直線的方程,解方程組可得點, 的坐標(biāo),經(jīng)分析題意可得定點必在軸上,不妨設(shè)該點坐標(biāo),然后根據(jù)直線的斜率相等建立關(guān)于的等式,結(jié)合點, 的坐標(biāo)經(jīng)計算可得定點坐標(biāo).
試題解析:
(1)由題意得,
∴為的中位線,
∴,
∴,
∴,
又, ,
∴, ,
∴橢圓方程為.
(2)設(shè), ,直線: ,
由 消去y整理得,
解得或(舍去).
∴,
以代替上式中的,可得.
由題意可得,若直線關(guān)于軸對稱后得到直線,
則得到的直線與關(guān)于軸對稱,
所以若直線經(jīng)過定點,該定點一定是直線與的交點,故該點必在軸上.
設(shè)該點坐標(biāo),則有,
∴ ,
將的值代入上式,化簡得,
∴直線經(jīng)過定點.
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【題目】下列命題中,不正確的是( )
A.在中,若,則
B.在銳角中,不等式恒成立
C.在中,若,,則必是等邊三角形
D.在中,若,則必是等腰三角形
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【題目】某地建一座橋,兩端的橋墩已建好,這兩墩相距640米,余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩,經(jīng)預(yù)測,一個橋墩的工程費用為256萬元,距離為米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為萬元.假設(shè)橋墩等距離分布,所有橋墩都視為點,且不考慮其他因素,設(shè)需要新建個橋墩,記余下工程的費用為萬元.
(1)試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;(注意:)
(2)需新建多少個橋墩才能使最小?
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【題目】如圖,在矩形中, , 為的中點, 為的中點.將沿折起到,使得平面平面(如圖).
圖1 圖2
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)在線段上是否存在點,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知:函數(shù).
(1)此函數(shù)在點處的切線與直線平行,求實數(shù)的值;
(2)在(1)的條件下,若,恒成立,求的最大值.
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【題目】已知如圖,橢圓:與直線交橢圓于,兩點.
(Ⅰ)若直線經(jīng)過橢圓的左焦點,交軸于點,且滿足,.求證:為定值;
(Ⅱ)若,求面積的取值范圍.
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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,對任意的正整數(shù)n,都有Sn=an+n-3成立.
(1)求證:存在實數(shù)λ使得數(shù)列{an+λ}為等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{nan}的前n項和Tn.
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【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=,an+1=3an-1(n∈N*).
(1)若數(shù)列{bn}滿足bn=an-,求證:{bn}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.
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【題目】隨著移動互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展,與餐飲美食相關(guān)的手機軟件層出不窮,現(xiàn)從某市使用和兩款訂餐軟件的商家中分別隨機抽取100個商家,對它們的“平均送達(dá)時間”進(jìn)行統(tǒng)計,得到頻率分布直方圖如下:
(1)使用訂餐軟件的商家中“平均送達(dá)時間”不超過30分鐘的商家有多少個?
(2)試估計該市使用款訂餐軟件的商家的“平均送達(dá)時間”的眾數(shù)及中位數(shù);
(3)如果以“平均送達(dá)時間”的平均數(shù)作為決策依據(jù),從和兩款訂餐軟件中選擇一款訂餐,你會選擇哪款?
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