Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．
（1）設點E為PD的中點，求證：CE∥平面PAB；
（2）線段PD上是否存在一點N，使得直線CN與平面PAC所成的角θ的正弦值為 ？若存在，試確定點N的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取AD中點M，連EM，CM，則EM∥PA．

∵EM平面PAB，PA平面PAB，

∴EM∥平面PAB．

在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，∴∠ACM=60°．

而∠BAC=60°，∴MC∥AB．

∵MC平面PAB，AB平面PAB，∴MC∥平面PAB．

∵EM∩MC=M，∴平面EMC∥平面PAB．

∵EC平面EMC，∴EC∥平面PAB．

（2）解：過A作AF⊥AD，交BC于F，建立如圖所示的坐標系，則A（0，0，0），B（ ，﹣ ，0），C（ ，1，0），D（0，4，0），P（0，0，2），

設平面PAC的法向量為 =（x，y，z），則 ，取 =（ ，﹣3，0），

設 =λ （0≤λ≤1），則 =（0，4λ，﹣2λ）， =（﹣λ﹣1，2﹣2λ），

∴|cos＜ ， ＞|= = ，∴ ，

∴N為PD的中點，使得直線CN與平面PAC所成的角θ的正弦值為 ．

【解析】（1）取AD中點M，利用三角形的中位線證明EM∥平面PAB，利用同位角相等證明MC∥AB，得到平面EMC∥平面PAB，證得EC∥平面PAB；（2）建立坐標系，求出平面PAC的法向量，利用直線CN與平面PAC所成的角θ的正弦值為 ，可得結論．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角，需要了解平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能得出正確答案．