Question

已知向量

OP

=(2sinx，-1)，

OQ

=(cosx，cos2x)，定義函數(shù)f(x)=

OP

•

OQ

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式，并指出其最大最小值；
（Ⅱ）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且f（A）=1，bc=8，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則表示出

OP

•

OQ

，第一項(xiàng)利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，提取

2

后，再利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到正弦函數(shù)的值域，進(jìn)而確定出函數(shù)f（x）的最大值及最小值；
（Ⅱ）由f（A）=1，根據(jù)第一問化簡得到的函數(shù)的解析式，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，由三角形為銳角三角形得到滿足題意的A的度數(shù)，可得出sinA的值，再由bc的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積S．

解答：解：（Ⅰ）∵

OP

=(2sinx，-1)，

OQ

=(cosx，cos2x)，
∴f（x）=

OP

•

OQ

=2sinxcosx-cos2x=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

），
∵-1≤sin（2x-

π

4

）≤1，
∴f（x）的最大值為

2

，最小值為-

2

；
（Ⅱ）∵f（A）=1，
∴sin（2A-

π

4

）=

2

2

，
∴2A-

π

4

=

π

4

或2A-

π

4

=

3π

4

，
∴A=

π

4

或A=

π

2

，又△ABC為銳角三角形，
則A=

π

4

，又bc=8，
則△ABC的面積S=

1

2

bcsinA=

1

2

×8×

2

2

=2

2

．

點(diǎn)評：此題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，二倍角的正弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．