Question

已知向量

OP

=(cosx，sinx)，

OQ

=(-

3

3

sinx，sinx)，定義函數(shù)f(x)=

OP

•

OQ

．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值及相應(yīng)的x值；
（2）當(dāng)

OP

⊥

OQ

時(shí)，求x的值．

Answer 1

分析：（1）求f（x）的最小正周期和最大值及相應(yīng)的x值；由題設(shè)條件可以看出，要先用數(shù)量積公式求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，再利用三角函數(shù)的相關(guān)公式進(jìn)行整理變形，再根據(jù)化簡后的形式選用相應(yīng)的公式求最值與周期以及取到最值時(shí)相應(yīng)的x的值．
（2）由兩向量垂直可得f（x）=0，將表達(dá)式代入解三角函數(shù)方程，求角．

解答：解：（1）由題意f(x)=-

3

3

sinxcosx+sin2x=

1

2

-

3

3

(

1

2

sin2x+

3

2

cos2x)=

1

2

-

3

3

sin(2x+

π

3

)，
∴ω=2，T=|

2π

ω

|=π．
當(dāng)x=kπ-

5π

12

，k∈Z時(shí)，f（x）取最大值

1

2

+

3

3

．
（2）當(dāng)

OP

⊥

OQ

時(shí)，f（x）=0，即

1

2

-

3

3

sin(2x+

π

3

)=0，
故有sin(2x+

π

3

)=

3

2

解得2x+

π

3

=2kπ+

π

3

或  2x+

π

3

=2kπ+

2π

3

即x=kπ+

π

6

或x=kπ，k∈Z．

點(diǎn)評(píng)：本題是向量與三角相結(jié)合的一個(gè)題，此類題的特點(diǎn)一般是先用向量的相關(guān)知識(shí)建立起三角函數(shù)關(guān)系，再利用三角函數(shù)的相關(guān)公式變形為較簡單的形式，由三角函數(shù)的性質(zhì)求解，本題考查轉(zhuǎn)化的能力，有較強(qiáng)的綜合性．