【題目】若實數(shù)滿足,則稱為的不動點.已知函數(shù)
,其中,、為常數(shù)。
(1)若,求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若時,存在一個實數(shù),使得既是的不動點,又是的極值點,求實數(shù)的值;
(3)證明:不存在實數(shù)組,使得互異的兩個極值點均為不動點.
【答案】(1)(2)(3)見解析
【解析】
(1)若,則.
故.
當時,顯然,的單調(diào)遞增區(qū)間為;
當時,由,知或.
綜上,的單調(diào)遞增區(qū)間為.
(2)由題意知
故,即.
解得.從而,.
(3)假設(shè)存在一組實數(shù)滿足條件.
由條件知.
因為有兩個不同的極值點,所以,. ①
設(shè)的兩個不同的極值點為、 .
則、是方程的兩個實根.
故,.
又由、是的不動點,知、是方程的兩根,設(shè)其另一個根為.由韋達定理知
于是,.從而,.
又 ,
即.
故,即.
令.則.
因此,在上嚴格單增.
從而,至多有一個實根.
又,,則至少有一個實根.
所以,恰有一個實數(shù)根.
由式①、②知,即,與矛盾.
綜上,不存在實數(shù)組,使得互異的兩個極值點均為不動點.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于 的函數(shù) ,
(I)試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若在區(qū)間 內(nèi)有極值,試求a的取值范圍;
(III) 時,若有唯一的零點 ,試求 .(注:為取整函數(shù),表示不超過的最大整數(shù),如 ;以下數(shù)據(jù)供參考:
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓E:的離心率為,點A(2,1)是橢圓E上的點.
(1)求橢圓E的方程;
(2)過點A作兩條互相垂直的直線l1,l2分別與橢圓E交于B,C兩點,己知△ABC的面積為,求直線BC的方程.
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【題目】在平面直角坐標系中,以坐標原點為中心,以坐標軸為對稱軸的幫圓C經(jīng)過點M(2,1),N.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)經(jīng)過點M作傾斜角互補的兩條直線,分別與橢圓C相交于異于M點的A,B兩點,當△AMB面積取得最大值時,求直線AB的方程.
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【題目】已知直線l1:x+2y+1=0,l2:-2x+y+2=0,它們相交于點A.
(1)判斷直線l1和l2是否垂直?請給出理由.
(2)求過點A且與直線l3:3x+y+4=0平行的直線方程.
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【題目】已知函數(shù)f1(x)=﹣ax2,f2(x)=x3+x2,f(x)=f1(x)+f2(x),設(shè)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),若不等式f1(x)<f′(x)<f2(x)在區(qū)間(1,+∞)上恒成立,則a的取值范圍為_____.
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【題目】若存在集合A、B滿足,,則稱為的一個二分劃.①設(shè),,判斷是否為的一個二分劃,說明理由.
②是否能找到的一個二分劃滿足集合A中不存在三個成等比數(shù)列的數(shù);集合B中不存在無窮的等比數(shù)列?說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖:在三棱錐中,面,是直角三角形,,,,點、、分別為、、的中點.
(1)求證:;
(2)求直線與平面所成的角的正弦值;
(3)求二面角的正切值.
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