【題目】已知關(guān)于 的函數(shù) ,
(I)試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若在區(qū)間 內(nèi)有極值,試求a的取值范圍;
(III) 時(shí),若有唯一的零點(diǎn) ,試求 .(注:為取整函數(shù),表示不超過的最大整數(shù),如 ;以下數(shù)據(jù)供參考:
【答案】(I)單調(diào)遞減區(qū)間;單調(diào)遞增區(qū)間;(II)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有極值,則a的取值范圍為.(III).
【解析】
(I)由題意的定義域?yàn)?/span> ,對a分類討論:當(dāng)a≥0時(shí),當(dāng)a<0時(shí),即可得出單調(diào)性;
(II) , 所以的定義域也為,且,
令h(x)=2x3-ax-2,x∈[0,+∞),h′(x)=6x2-a,當(dāng)a<0時(shí),可得:函數(shù)h(x)在(0,1)內(nèi)至少存在一個(gè)變號零點(diǎn)x0,且x0也是f′(x)的變號零點(diǎn),此時(shí)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有極值.當(dāng)a≥0時(shí),由于函數(shù)f(x)單調(diào),因此函數(shù)f(x)無極值.
(III)a>0時(shí),由(II)可知:f(1)=3知x∈(0,1)時(shí),f(x)>0,因此x0>1.又f′(x)在區(qū)間(1,+∞)上只有一個(gè)極小值點(diǎn)記為x1,由題意可知:x1即為x0.得到 ,即 ,消去可得: ,a>0,令 分別研究單調(diào)性即可得出x0的取值范圍.
(I)由題意的定義域?yàn)?/span>
(i)若,則在上恒成立,為其單調(diào)遞減區(qū)間;
(ii)若,則由得,
時(shí),,時(shí),,
所以為其單調(diào)遞減區(qū)間;為其單調(diào)遞增區(qū)間;
(II) 所以的定義域也為,
且
令 (*)
則 (**)
(i)當(dāng)時(shí), 恒成立,所以為上的單調(diào)遞增函數(shù),
又,所以在區(qū)間內(nèi)存在唯一一個(gè)零點(diǎn),
由于為上的單調(diào)遞增函數(shù),所以在區(qū)間內(nèi),
從而在,所以此時(shí)在區(qū)間內(nèi)有唯一極值且為極小值,適合題意,
(ii)當(dāng)時(shí),即在區(qū)間(0,1)上恒成立,此時(shí), 無極值.
綜上所述,若在區(qū)間內(nèi)有極值,則a的取值范圍為.
(III) ,由(II)且知時(shí), .
由(**)式知,。
由于,所以,
又由于,
所以
亦即 ,
由
從而得
所以,,
從而,又因?yàn)?/span>有唯一的零點(diǎn),所以 即為,
消去a,得
時(shí)令,
則在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù), 為單調(diào)遞減函數(shù),
且
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將集合中的元素作全排列,使得除了最左端的一個(gè)數(shù)之外,對于其余的每個(gè)數(shù),在的左邊某個(gè)位置上總有一個(gè)數(shù)與之差的絕對值為1.則滿足條件的排列個(gè)數(shù)為____________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知盒子中裝有紅色、藍(lán)色紙牌各100張,每種顏色紙牌均含標(biāo)數(shù)為的紙牌各一張,兩種顏色紙牌的標(biāo)數(shù)總和記為.
對于給定的正整數(shù),若能從盒子中取出若干張紙牌,使其標(biāo)數(shù)之和恰為,則稱其為一種取牌“n—方案”.記不同的n—方案種數(shù)為.試求的值.
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【題目】武漢出現(xiàn)的新型冠狀病毒是一種可以通過飛沫傳播的變異病毒,某藥物研究所為篩查該新型冠狀病毒,需要檢驗(yàn)血液是否為陽性,現(xiàn)有份血液樣本,每份樣本取到的可能性均等,有以下兩種檢驗(yàn)方式:①逐份檢驗(yàn),則需要檢驗(yàn)n次;②混合檢驗(yàn),將其中份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn).若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性,這k份血液全為陰性,因此這k份血液樣本檢驗(yàn)一次就夠了,如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性,為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性,就要對這k份血液再逐份檢驗(yàn),此時(shí)這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為次.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中,每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陰性還是陽性都是獨(dú)立的,且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為.
(1)假設(shè)有5份血液樣本,其中只有2份為陽性,若采取逐份檢驗(yàn)方式,求恰好經(jīng)過2次檢驗(yàn)就能把陽性樣本全部檢驗(yàn)出來的概率;
(2)現(xiàn)取其中份血液樣本,記采用逐份檢驗(yàn)方式,樣本需要檢驗(yàn)的次數(shù)為,采用混合檢驗(yàn)方式,樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為.
(i)試運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識,若,試求P關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式;
(ii)若,采用混合檢驗(yàn)方式可以使得這k份血液樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值更少,求k的最大值.
參考數(shù)據(jù):,,,,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: 的右焦點(diǎn)為F(2,0),過點(diǎn)F的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)且MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為 .
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l不經(jīng)過點(diǎn)P(0,b)且與C相交于A,B兩點(diǎn),若直線PA與直線PB的斜率的和為1,試判斷直線 l是否經(jīng)過定點(diǎn),若經(jīng)過定點(diǎn),請求出該定點(diǎn);若不經(jīng)過定點(diǎn),請給出理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某一電視臺(tái)對年齡高于40歲和不高于40歲的人是否喜歡西班牙隊(duì)進(jìn)行調(diào)查,40歲以上調(diào)查了50人,不高于40歲調(diào)查了50人,所得數(shù)據(jù)制成如下列聯(lián)表:
不喜歡西班牙隊(duì) | 喜歡西班牙隊(duì) | 總計(jì) | |
40歲以上 | 50 | ||
不高于40歲 | 15 | 35 | 50 |
總計(jì) | 100 |
已知工作人員從所有統(tǒng)計(jì)結(jié)果中任取一個(gè),取到喜歡西班牙隊(duì)的人的概率為,則有超過________的把握認(rèn)為年齡與西班牙隊(duì)的被喜歡程度有關(guān).
參考公式與臨界值表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.702 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】若實(shí)數(shù)滿足,則稱為的不動(dòng)點(diǎn).已知函數(shù)
,其中,、為常數(shù)。
(1)若,求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若時(shí),存在一個(gè)實(shí)數(shù),使得既是的不動(dòng)點(diǎn),又是的極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的值;
(3)證明:不存在實(shí)數(shù)組,使得互異的兩個(gè)極值點(diǎn)均為不動(dòng)點(diǎn).
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