【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為中心，以坐標(biāo)軸為對稱軸的幫圓C經(jīng)過點M（2，1），N.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）經(jīng)過點M作傾斜角互補的兩條直線，分別與橢圓C相交于異于M點的A，B兩點，當(dāng)△AMB面積取得最大值時，求直線AB的方程.

【答案】（1）

（2）或

【解析】

（1）設(shè)橢圓C的方程為（，，）.

根據(jù)橢圓過兩點，代入得到方程組，解得.

（2）由直線AM，BM，AB的斜率存在，故.設(shè)它們的斜率分別為，，k.

設(shè)，，直線AB的方程為.聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達定理，由.即. 即可解得，或.分別代入檢驗，再用弦長公式及點到直線的距離公式，表示出三角形的面積，利用基本不等式求最值.

解：（1）設(shè)橢圓C的方程為（，，）.

∵點和N在橢圓C上，

∴.解得.

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）∵點A，B為橢圓上異于M的兩點，且直線AM，BM的傾斜角互補，

∴直線AM，BM，AB的斜率存在.設(shè)它們的斜率分別為，，k.

設(shè)，，直線AB的方程為.

∴.

∴.

由，消去y，得.

由，得.

∴，.

∴.

∴.

∴.

∴，或.

∵點A，B為橢圓上異于M的兩點，

∴當(dāng)時，直線AB的方程為，不合題意，舍去.

∴直線AB的斜率為.

∵，點M到直線AB的距離為，

∴的面積為.

當(dāng)且僅當(dāng)時，的面積取得最大值，此時.

∵，滿足.

∴直線AB的方程為或.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知橢圓C： 的右焦點為F(2,0)，過點F的直線交橢圓于M、N兩點且MN的中點坐標(biāo)為 ．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

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A.234B.152C.126D.108

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x

0

40

60

120

Q

0

20

（1）你認(rèn)為哪一個是符合實際的函數(shù)模型，請說明理由；

（2）從甲地到乙地，這輛車應(yīng)以多少速度行駛才能使總耗油量最少？

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（1）求數(shù)列和的通項公式；

（2）記，為數(shù)列的前項和，若不等式對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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，其中，、為常數(shù)。

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若時，存在一個實數(shù)，使得既是的不動點，又是的極值點，求實數(shù)的值；

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（2）求旅行社獲得的利潤的最大值.

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A. B. C. D.

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