Question

【題目】若存在集合A、B滿足，，則稱為的一個二分劃.①設(shè)，，判斷是否為的一個二分劃，說明理由.

②是否能找到的一個二分劃滿足集合A中不存在三個成等比數(shù)列的數(shù)；集合B中不存在無窮的等比數(shù)列？說明理由.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

①因為所以，故不是的一個二分劃.

②能找到.

正整數(shù)集中形成的等比數(shù)列可以唯一地用一個正整數(shù)數(shù)對來表示，其中，a為數(shù)列的首項，q為數(shù)列的公比.反之，每一對也唯一地表示一個無窮等比數(shù)列.

正整數(shù)數(shù)對可排序如下將這些數(shù)對所對應(yīng)的無窮等比數(shù)列依次記為先在中任取一個數(shù)；在中取數(shù)，使得；在中任取，使得，在中取數(shù)，使得；一般地，在中取數(shù)，使得.如此得到正整數(shù)由這些數(shù)組成集合A，并令可以證明上述構(gòu)造的A和B滿足題設(shè)和.

首先，中每一個無窮等比數(shù)列中至少有一項集合A中，于是，集合B中不存在無窮等不數(shù)列.其次證明集合A中不存在三數(shù)成等比數(shù)列.任取不妨設(shè)則，但由集合A的取法知從而， 不成等比數(shù)列.因此，集合A中不存在三個成等比數(shù)列的數(shù).