【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|x﹣a|.
(1)當(dāng)a=2時(shí),解不等式f(x)≥7﹣|x﹣1|;
(2)若f(x)≤1的解集為[0,2], =a(m>0,n>0),求證:m+4n≥2 +3.

【答案】
(1)

解:當(dāng)a=2時(shí),f(x)=|x﹣2|,

則不等式f(x)≥7﹣|x﹣1|等價(jià)為|x﹣2|≥7﹣|x﹣1|,

即|x﹣2|+|x﹣1|≥7,

當(dāng)x≥2時(shí),不等式等價(jià)為x﹣2+x﹣1≥7,即2x≥10,即x≥5,此時(shí)x≥5;

當(dāng)1<x<2時(shí),不等式等價(jià)為2﹣x+x﹣1≥7,即1≥7,此時(shí)不等式不成立,此時(shí)無(wú)解,

當(dāng)x≤1時(shí),不等式等價(jià)為﹣x+2﹣x+1≥7,則2x≤﹣4,得x≤﹣2,此時(shí)x≤﹣2,

綜上不等式的解為x≥5或x≤﹣2,即不等式的解集為(﹣∞,﹣2]∪[5,+∞)


(2)

解:若f(x)≤1的解集為[0,2],

由|x﹣a|≤1得﹣1+a≤x≤1+a.

得a=1,

=a=1,(m>0,n>0),

則m+4n=(m+4n)( )=1+2+ ≥3+2 =2 +3.

當(dāng)且僅當(dāng) ,即m2=8n2時(shí)取等號(hào),

故m+4n≥2 +3成立


【解析】(1)利用絕對(duì)值的應(yīng)用表示成分段函數(shù)形式,解不等式即可.(2)根據(jù)不等式的解集求出a=1,利用1的代換結(jié)合基本不等式進(jìn)行證明即可.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用基本不等式的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握基本不等式:,(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào));變形公式:

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