【題目】如圖,直三棱柱ABC﹣A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=λAA′,點M,N分別為A′B和B′C′的中點.
(1)證明:MN∥平面A′ACC′;
(2)若二面角A′﹣MN﹣C為直二面角,求λ的值.
【答案】(1)見解析(2)λ.
【解析】
(1)法一:連接AB′、AC′,根據(jù)M為AB′中點,N為B′C′的中點,在中可知MN∥AC′,又MN平面A′ACC′,所以MN∥平面A′ACC′;法二:取A′B′的中點P,連接MP、NP,根據(jù)兩條相交中位線易證明平面MPN∥平面A′ACC′,從而MN∥平面A′ACC′;
(2)以A為坐標原點,分別以直線AB、AC、AA′為x,y,z軸,建立直角坐標系,寫出點的坐標即可求解.
(1)證明:法一:連接AB′、AC′,
由已知∠BAC=90°,AB=AC,
三棱柱ABC﹣A′B′C′為直三棱柱,
所以M為AB′中點,
又因為N為B′C′的中點,
所以MN∥AC′,
又MN平面A′ACC′,平面,
因此MN∥平面A′ACC′;
法二:取A′B′的中點P,連接MP、NP,
M、N分別為A′B、B′C′的中點,
所以MP∥AA′,平面,平面,所以MP∥平面A′ACC′,
同理可得PN∥平面A′ACC′,
又MP∩NP=P,因此平面MPN∥平面A′ACC′,
而MN平面MPN,因此MN∥平面A′ACC′.
(2)以A為坐標原點,分別以直線AB、AC、AA′為x,y,z軸,建立直角坐標系,如圖,
設(shè)AA′=1,則AB=AC=λ,于是A(0,0,0),B(λ,0,0),C(0,λ,0),A′(0,0,1),B′(λ,0,1),C′(0,λ,1).
所以M(),N(),
設(shè)(x1,y1,z1)是平面A′MN的法向量,,,
由,得,可取,
設(shè)(x2,y2,z2)是平面MNC的法向量,,
由,得,可取,
因為二面角A'﹣MN﹣C為直二面角,
所以,即﹣3+(﹣1)×(﹣1)+λ2=0,解得λ.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)求函數(shù)在上的最值;
(3)當時,若函數(shù)恰有兩個不同的零點,,求的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若是函數(shù)的極值點,求的值及函數(shù)的極值;
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.
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【題目】若數(shù)列對任意的,都有,且,則稱數(shù)列為“k級創(chuàng)新數(shù)列”.
(1)已知數(shù)列滿足且,試判斷數(shù)列是否為“2級創(chuàng)新數(shù)列”,并說明理由;
(2)已知正數(shù)數(shù)列為“k級創(chuàng)新數(shù)列”且,若,求數(shù)列的前n項積;
(3)設(shè),是方程的兩個實根,令,在(2)的條件下,記數(shù)列的通項,求證:.
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【題目】已知函數(shù),其中.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)使不等式對任意,恒成立時最大的記為,求當時,的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù).其中.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)函數(shù)在處存在極值-1,且時,恒成立,求實數(shù)的最大整數(shù).
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【題目】在平面直角坐標系中,,設(shè)的內(nèi)切圓分別與邊相切于點,已知,記動點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)過的直線與軸正半軸交于點,與曲線E交于點軸,過的另一直線與曲線交于兩點,若,求直線的方程.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求證:函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增;
(2)記為函數(shù)的反函數(shù).若關(guān)于的方程在上有解,求的取值范圍;
(3)若對于恒成立,求的取值范圍.
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