Question

【題目】已知函數(shù)（），.

（1）當(dāng)時(shí)，與在定義域上的單調(diào)性相反，求b的取值范圍；

（2）設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷g(x)的單調(diào)性，然后再分析f(x)中b的取值范圍；(2)先分別表示出，再利用做差得，將其化簡(jiǎn)為：；根據(jù)要證明的式子：我們可化為，再結(jié)合g(x)的性質(zhì)，判斷函數(shù)值的正負(fù)即可

（1）∵，

∴

由題意可知，與的定義域均為，

∵，

∴在上單調(diào)遞減，

又時(shí)，與在定義域上的單調(diào)性相反，

∴在上單調(diào)遞增，

∴對(duì)恒成立，

即對(duì)恒成立，

∴只需，

∵，

∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），

∴，

∴b的取值范圍；

（2）由已知可得，

∴，

∴，

即，

∴，

從而

，

在上單調(diào)遞減，且，，

∴當(dāng)時(shí)，，

∴，

又，

∴，

即，

即證.