【題目】如圖,矩形為一張臺(tái)球桌面,,.從點(diǎn)擊出一個(gè)球,其可無(wú)限次經(jīng)臺(tái)球桌四邊反彈運(yùn)行.已知該球經(jīng)過(guò)矩形的中心.

(1)試求所有整點(diǎn) 的個(gè)數(shù),使得該球可以經(jīng)過(guò)點(diǎn);

(2)若該球在上述、兩點(diǎn)間的最短路徑長(zhǎng)為,求的最大值.

【答案】(1)(2)

【解析】

(1)將矩形及點(diǎn)整體向右、上方向翻轉(zhuǎn)復(fù)制,得到一系列矩形.

設(shè)第列、第行矩形中、的像分別為、.

,

,

,

.

設(shè)、的斜率分別為.

, ①

,

,.

故經(jīng)過(guò)點(diǎn)的球可以經(jīng)過(guò)點(diǎn)

存在、、,使得. ②

為使式②成立,必須, .

.

(2)下面利用式②驗(yàn)證球可以經(jīng)過(guò)上述點(diǎn),并計(jì)算.

對(duì)前五個(gè)點(diǎn),有,且

,.

對(duì)中間四個(gè)點(diǎn),有,故球在之間必須經(jīng)臺(tái)球桌四邊之一反彈,有

.

從而,

.

對(duì),若球在某一矩形內(nèi)直接經(jīng)過(guò)(不必經(jīng)矩形邊反彈),則.

此時(shí),由式①知,且.但當(dāng)時(shí),,矛盾.

若球在、之間只反彈一次,則球經(jīng)過(guò)某兩個(gè)相鄰的矩形中的、,有,但由式①有,矛盾.

故球在、之間必須經(jīng)臺(tái)球桌四邊反彈至少兩次,有

.

從而,.

綜上,所求整點(diǎn)有11個(gè),且.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)求的面積的最小值;

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A.r1r2B.r1r20

C.0r1r2D.r10r2

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(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)記表示事件從參加冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生,該學(xué)生的比賽成績(jī)不低于80,估計(jì)的概率;

(Ⅲ)在抽取的100名學(xué)生中,規(guī)定:比賽成績(jī)不低于80分為優(yōu)秀,比賽成績(jī)低于80分為非優(yōu)秀.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上將列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有的把握認(rèn)為比賽成績(jī)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)

參考公式及數(shù)據(jù):,

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.

(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程與直線的普通方程;

(2)直線與曲線交于兩點(diǎn),記弦的中點(diǎn)為,點(diǎn),求.

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C. D.(-∞,e)

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