【題目】已知橢圓的離心率為,左頂點(diǎn)為,過橢圓的右焦點(diǎn)作互相垂直的兩條直線,分別交直線,兩點(diǎn).

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)求的面積的最小值;

(Ⅲ)設(shè)直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為,橢圓的右頂點(diǎn)為,求證:,三點(diǎn)共線.

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)9(Ⅲ)詳見解析

【解析】

(Ⅰ)求出a的值,根據(jù)離心率求出c的值,從而求出橢圓的方程;

(Ⅱ)設(shè)出l1的方程,表示出M,N的坐標(biāo),表示出|MN|,表示出△FMN的面積,根據(jù)不等式的性質(zhì)求出面積的最小值即可;

(Ⅲ)聯(lián)立直線和橢圓的方程,表示出P的坐標(biāo),求出直線BP,BN的斜率,判斷即可.

解:(Ⅰ)由題意離心率,所以所以

所以橢圓的方程為

(Ⅱ),由題意,設(shè),,

得:,所以.

設(shè)d為點(diǎn)F到直線l的距離,則的面積為

.當(dāng)且僅當(dāng),

時(shí),的面積的最小值為

(Ⅲ)直線的方程為,消元,得

,,

設(shè),則,

所以

所以.又,

所以所以,所以三點(diǎn)共線.

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(1)求橢圓的方程;

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(Ⅱ)已知有限等比數(shù)列,求的伴隨集合中各元素之和;

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