【題目】設(shè)函數(shù),,其中的導函數(shù).

1)令,,,猜想的表達式,并給出證明;

2)若恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】1見解析(2

【解析】

1)根據(jù),,由,得到,,,猜想,再用數(shù)學歸納法證明.

2)由恒成立,得到恒成立,令,用導數(shù)法研究成立即可.

1)因為,

所以,,,可猜想

下面用數(shù)學歸納法證明.

①當時,,結(jié)論成立.

②假設(shè)當時結(jié)論成立,即

則當時,,結(jié)論成立.

由①②可知,結(jié)論對成立.

2)法1:已知恒成立,即恒成立.

設(shè),

,

時,(當且僅當,時等號成立),

上單調(diào)遞增.

,∴上恒成立,

∴當時,恒成立(當且僅當時等號成立).

時,對,有,

上單調(diào)遞減,∴

即當時,存在,使,

不恒成立.

綜上可知,的取值范圍是

2:已知恒成立,即恒成立.

時,無論取什么值,都成立;

時,,

,,

,

,∴,

上單調(diào)遞增,

,即,

上單調(diào)遞增,

,

,即的取值范圍是

3:已知恒成立,

恒成立.,

,∵,∴,

所以函數(shù)的圖象不在函數(shù)的圖象的上方,其中

,∴上單調(diào)遞增,

又∵上單調(diào)遞增,且,

的圖象如圖所示,

的圖象恒過點,

∴由圖象可知

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A. B.

C. D.

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