【題目】已知函數(shù),為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的極值;
(2)若,求證:.
【答案】(1)當(dāng)時,極大值,當(dāng)時,極小值;(2)證明見解析.
【解析】
(1)首先求出導(dǎo)函數(shù),將代入,求出的正負(fù),從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再根據(jù)極值的定義即可求解.
(2)由(1)知,當(dāng),時,可得,即,構(gòu)造,利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)在上單調(diào)遞增,即,證出,進(jìn)而證出不等式.
(1)因為,
所以當(dāng)時,,
因為當(dāng)時,;
當(dāng)時,;
當(dāng)時,;
所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
所以當(dāng)時,函數(shù)有極大值,
當(dāng)時,函數(shù)有極小值.
(2)由(1)知,當(dāng),時,
函數(shù)在時取得極小值,即最小值,
所以,化簡可得,
令,則,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,
所以,所以,
從而可得,
因為不等式的兩個等號不同時成立,所以.
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【題目】線段AB為圓的一條直徑,其端點A,B在拋物線 上,且A,B兩點到拋物線C焦點的距離之和為11.
(1)求拋物線C的方程及直徑AB所在的直線方程;
(2)過M點的直線l交拋物線C于P,Q兩點,拋物線C在P,Q處的切線相交于N點,求面積的取值范圍.
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【題目】如圖,四邊形為正方形,四邊形為矩形,且平面與平面互相垂直.若多面體 的體積為,則該多面體外接球表面積的最小值為( )
A.B.C.D.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為.(為參數(shù))以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,點的極坐標(biāo)為,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求的直角坐標(biāo)和 l的直角坐標(biāo)方程;
(2)把曲線上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍,縱坐標(biāo)伸長為原來的倍,得到曲線,為上動點,求中點到直線距離的最小值.
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【題目】“水資源與永恒發(fā)展”是2015年聯(lián)合國世界水資源日主題,近年來,某企業(yè)每年需要向自來水廠所繳納水費約4萬元,為了緩解供水壓力,決定安裝一個可使用4年的自動污水凈化設(shè)備,安裝這種凈水設(shè)備的成本費(單位:萬元)與管線、主體裝置的占地面積(單位:平方米)成正比,比例系數(shù)約為0.2.為了保證正常用水,安裝后采用凈水裝置凈水和自來水廠供水互補(bǔ)的用水模式.假設(shè)在此模式下,安裝后該企業(yè)每年向自來水廠繳納的水費C(單位:萬元)與安裝的這種凈水設(shè)備的占地面積x(單位:平方米)之間的函數(shù)關(guān)系是C(x)= (x≥0,k為常數(shù)).記y為該企業(yè)安裝這種凈水設(shè)備的費用與該企業(yè)4年共將消耗的水費之和.
(1)試解釋C(0)的實際意義,并建立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并化簡;
(2)當(dāng)x為多少平方米時,y取得最小值,最小值是多少萬元?
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為,(為參數(shù)),直線的普通方程為,設(shè)與的交點為,當(dāng)變化時,記點的軌跡為曲線. 在以原點為極點,軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的方程為.
(1)求曲線的普通方程;
(2)設(shè)點在上,點在上,若直線與的夾角為,求的最大值.
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【題目】已知直線:,:,圓:.
(1)當(dāng)為何值時,直線與平行;
(2)當(dāng)直線與圓相交于,兩點,且時,求直線的方程.
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【題目】已知橢圓的離心率是,且經(jīng)過點.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過右焦點F的直線l與橢圓C相交于A,B兩點,點B關(guān)于x軸的對稱點為H,試問的面積是否存在最大值?若存在,求出這個最大值;若不存在,請說明理由.
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