【題目】線段AB為圓的一條直徑,其端點(diǎn)AB在拋物線 上,且A,B兩點(diǎn)到拋物線C焦點(diǎn)的距離之和為11.

1)求拋物線C的方程及直徑AB所在的直線方程;

2)過(guò)M點(diǎn)的直線l交拋物線CP,Q兩點(diǎn),拋物線CP,Q處的切線相交于N點(diǎn),求面積的取值范圍.

【答案】1,;(2.

【解析】

1)利用拋物線的定義可求出,再利用點(diǎn)差法求出直線的斜率,結(jié)合直線過(guò)圓心,利用點(diǎn)斜式即可求出直線的方程:

2)不妨設(shè),,,,,,直線的方程為,與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式可求出,再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出拋物線,的切線方程,把點(diǎn),代入切線的方程得,同理可得:,故, 為一元二次方程的兩根,再次利用韋達(dá)定理得,,所以點(diǎn)到直線的距離,所以,故當(dāng)時(shí),的面積取得最小值,最小值為27.

解:(1)設(shè),拋物線的焦點(diǎn)為F,

,

拋物線C的方程為:,

,兩式相減得:,

直線AB的斜率為﹣1

M方程:化為坐標(biāo)方程為:

直線AB過(guò)圓心,

直線AB的方程為:,即;

2)不妨設(shè),

直線l的方程為,

聯(lián)立方程,消去y得:

,

,

拋物線C的方程為

,

拋物線C的切線方程為:,

點(diǎn)在切線PN上,

,即

同理可得:,

為一元二次方程的兩根,

,又,

,

點(diǎn)N到直線PQ的距離

,

,

當(dāng)時(shí),的面積取得最小值,最小值為27,

面積的取值范圍為:.

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