Question

【題目】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC與BD交于點(diǎn)O，PC⊥底面ABCD， 點(diǎn)E為側(cè)棱PB的中點(diǎn)．

求證：(1) PD∥平面ACE；

(2) 平面PAC⊥平面PBD．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析。

【解析】

（1）連接OE．易證PD∥OE，根據(jù)線面平行判定定理得證；

（2）要證平面PAC⊥平面PBD，即證BD⊥平面PAC

(1) 連接OE．

因?yàn)?/span>O為正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，

所以O為BD中點(diǎn)．

因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，所以PD∥OE．

又因?yàn)镺E面ACE，PD平面ACE，

所以PD∥平面ACE．

(2) 在四棱錐P－ABCD中，

因?yàn)镻C⊥底面ABCD，BD面ABCD，

所以BD⊥PC．

因?yàn)?/span>O為正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，

所以BD⊥AC．

又PC、AC平面PAC，PC∩AC＝C，

所以BD⊥平面PAC．

因?yàn)锽D平面PBD，

所以平面PAC⊥平面PBD．