Question

【題目】若數(shù)列滿足：存在正整數(shù)，對任意的，使得成立，則稱為階穩(wěn)增數(shù)列.

（1）若由正整數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列，且對任意，數(shù)列中恰有個，求的值；

（2）設(shè)等比數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列且首項大于，試求該數(shù)列公比的取值范圍；

（3）在（1）的條件下，令數(shù)列（其中，常數(shù)為正實數(shù)），設(shè)為數(shù)列的前項和.若已知數(shù)列極限存在，試求實數(shù)的取值范圍，并求出該極限值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）設(shè)，由題意得出，求出正整數(shù)的值即可；

（2）根據(jù)定義可知等比數(shù)列中的奇數(shù)項構(gòu)成的等比數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列，偶數(shù)項構(gòu)成的等比數(shù)列也為階穩(wěn)增數(shù)列，分和兩種情況討論，列出關(guān)于的不等式，解出即可；

（3）求出，然后分、和三種情況討論，求出，結(jié)合數(shù)列的極限存在，求出實數(shù)的取值范圍.

（1）設(shè)，由于數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列，則，

對任意，數(shù)列中恰有個，

則數(shù)列中的項依次為：、、、、、、、、、、、、、、、、，

設(shè)數(shù)列中值為的最大項數(shù)為，

則，

由題意可得，即，，解得，

因此，；

（2）由于等比數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列，即對任意的，，且.

所以，等比數(shù)列中的奇數(shù)項構(gòu)成的等比數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列，偶數(shù)項構(gòu)成的等比數(shù)列也為階穩(wěn)增數(shù)列.

①當(dāng)時，則等比數(shù)列中每項都為正數(shù)，由可得，整理得，解得；

②當(dāng)時，

（i）若為正奇數(shù)，可設(shè)，則，

由，得，即，整理得，解得；

（ii）若為正偶數(shù)時，可設(shè)，則，

由，得，即，整理得，解得.

所以，當(dāng)時，等比數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列.

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是；

（3），由（1）知，則.

①當(dāng)時，，，則，

此時，數(shù)列的極限不存在；

②當(dāng)時，，

，

上式下式得，

所以，，則.

（i）若時，則，此時數(shù)列的極限不存在；

（ii）當(dāng)時，，

此時，數(shù)列的極限存在.

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.